Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與圓C₂：x²+y²=b²，若橢圓C₁上存在點P，使得由點P所作的圓C₂的兩條切線互相垂直，則橢圓C₁的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用O、P、A、B四點共圓的性質(zhì)及橢圓離心率的概念，綜合分析即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．

解答： 解：連接OA，OB，OP，依題意，O、P、A、B四點共圓，
∵∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°，
在直角三角形OAP中，cos∠AOP=

b

|OP|

=

2

2

，
∴|OP|=

2

b，
∴b＜|OP|≤a，
∴

2

b≤a，
∴2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e≥

2

2

，又0＜e＜1，
∴

2

2

≤e＜1，
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[

2

2

，1）．
故答案為：[

2

2

，1）．

點評：本題考查橢圓的離心率，考查四點共圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的概念，考查轉(zhuǎn)化與方程思想，屬于中檔題．