Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),且函數(shù)= 是偶函數(shù)

(1)求的解析式;

(2)已知,求函數(shù)在的最大值和最小值

(3)函數(shù)的圖象上是否存在這樣的點(diǎn),其橫坐標(biāo)是正整數(shù),縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)?如果存在,求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) =.(2)答案見(jiàn)解析；(3)函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，由此求得的值；（2）由（1）可得，討論的范圍，進(jìn)而求出的最值；（3）如果函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為，從而，由此求得、的值，從而得出結(jié)論.

試題解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),

所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為,即

所以

又因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

所以,解得.

因此,函數(shù)的解析式為=.

(2)由(1)知, ==,

所以,當(dāng)時(shí), =.

當(dāng)=

當(dāng)

當(dāng)= =.

(3)如果函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)符合要求其中

則,從而=,

即=.

注意到43是質(zhì)數(shù),且

所以有,

解得,

因此,函數(shù)的圖象上存在符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)為