Question

6．已知y=f（x）是（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲線f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線為y=g（x），且g（a）=2016，則a等于（　�。�

• A． -500.5
• B． -501.5
• C． -502.5
• D． -503.5

Answer 1

分析 令F（x）=x²f（x），討論x＞1，0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，求得f（x）在（1，2）處的切線方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．

解答 解：令F（x）=x²f（x），
由（x-1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得
x＞1時(shí)，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x²f′（x）＞0，即F（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x²f′（x）＜0，即F（x）遞減．
即有x=1處為極值點(diǎn)，即為F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，
由f（1）=2，可得f′（1）=-4，
曲線f（x）在點(diǎn)（1，2）處的切線為y-2=-4（x-1），
即有g(shù)（x）=6-4x，
由g（a）=2016，即有6-4a=2016，解得a=-502.5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的逆用，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．