求以直線x+2=0為準(zhǔn)線，離心率為，恒過定點(diǎn)M(1，0)的橢圓長軸長的最大值，并求長軸最長時(shí)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

如圖示，拋物線方程為y²=p(x+1)(p＞0)，直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊．

　　(1)求證：直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)；

　　(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)表達(dá)式．

　　(3)在(2)的條件下，若m變化，使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于，求p的取值范圍．

已知雙曲線的實(shí)軸平行于y軸，離心率為2，它的一個(gè)分支過圓(x-1)²+(y-1)²=4的中心，且此分支一側(cè)的焦點(diǎn)在這個(gè)圓上，求這個(gè)分支頂點(diǎn)的軌跡方程．

某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱檢測直徑為3cm的圓洞，為了保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱．問：這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑應(yīng)該是多大?

某機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面xOy的第一象限，x軸正半軸及y軸正半軸的范圍之內(nèi)運(yùn)動(dòng)，該機(jī)器人在x軸正半軸上的運(yùn)動(dòng)速度是2m/s，在平面其他地方運(yùn)動(dòng)速度是1m/s，該機(jī)器人從原點(diǎn)O出發(fā)，在1s內(nèi)能到達(dá)的點(diǎn)的集合形成的圖形記為G，將G的邊界位于第一象限的部分記為C．

　　(1)求曲線C的軌跡方程；

　　(2)求圖形G的面積．

已知k＞0，如圖8-5所示，直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx．

　　(1)證明：到l₁、l₂的距離的平方和為定值a(a＞0)的點(diǎn)的軌跡是圓或橢圓；

　　(2)求：到l₁、l₂的距離之和為定值c(c＞0)的點(diǎn)的軌跡．

圖8-5

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1，0)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，點(diǎn)M(m，0)到直線AP的距離為1，若直線AP的斜率為k，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知直線y=2x+1與拋物線y²=9x交于A、B兩點(diǎn)，C為拋物線AB弧上一點(diǎn)，求

△ABC的面積的最大值及此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)．

已知拋物線C：y=x²-xcosq +2sinq -1，q 為參數(shù)，求拋物線在x軸上兩截距的平方和的最小值和最大值．

設(shè)雙曲線(0＜a＜b)的半焦距為c，直線l過(a，0)，(0，b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率．