已知如圖長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，E是上底面中心，F(xiàn)，M為A₁B₁與CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出C₁M與平面EFAD的位置關(guān)系并證明．
（Ⅱ）求證：平面B₁BAF⊥平面EFAD．
（Ⅲ）求幾何體B₁EF-BDA的表面積．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）若離心率為

5

3

，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離為3，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（3）設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，求證：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線C過點(diǎn)Q（2，

3

3

），且Q點(diǎn)在x軸上的射影恰為該雙曲線的焦點(diǎn)F．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C的焦點(diǎn)F作與x軸不垂直的任意直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，問：

|AB|

|FM|

是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

已知m∈R，復(fù)數(shù)z=（m²-5m+6）+（m²-3m）i．
（1）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)？
（2）實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=

1

2

x上？

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求證：平面PAC⊥平面ABC．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）圓O是以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點(diǎn)，過M點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，當(dāng)∠PMQ=60°時(shí)，試證明點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)在圓O上．

已知復(fù)數(shù)Z₁，Z₂在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A（-2，1），B（a，3）．
（1）若|Z₁-Z₂|=

5

，求a的值．
（2）復(fù)數(shù)z=Z₁•Z₂對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在二、四象限的角平分線上，求a的值．

已知函數(shù)f（x）=2alnx-x+

1

x

（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b（b∈R）
（Ⅰ）若f（x）是在定義域上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=

2

時(shí)，若對(duì)?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅲ）對(duì)?n∈N，且n≥2，證明：ln（n�。�⁴＜（n-1）（n+2）

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）令F（x）=f（x）+（a+2）x，若函數(shù)F（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x₀，h（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

h(x)-g(x)

x-x0

＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“特殊點(diǎn)”，當(dāng)a=4時(shí)，試問y=f（x）是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)至少求出一個(gè)“特殊點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

如圖，單位正方形ABCD，在正方形內(nèi)（包括邊界）任取一點(diǎn)M，求：
（1）△AMB面積大于等于

1

4

的概率；
（2）求AM長(zhǎng)度不小于1的概率．