已知函數(shù)f（x）=

1

x2

+4（x≠0），各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n），（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{b_n}中，對任意的正整數(shù)n，b_n•

(3n-1)an2+n

an2

=1都成立，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．試比較S_n與

1

2

的大�。�

已知f（x）=

x-a

2x2+b

為R上的奇函數(shù)（a，b是常數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（1，

1

3

）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）定義正數(shù)數(shù)列{a_n}：a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n），設(shè)b_n=

1

an2

-2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{

n

an2

}的前n項(xiàng)和S_n，若S_n+

1

2n-2

-m＞0對一切n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)為（-

3

，0），一條漸近線為y=

2

x．
（1）求雙曲線的方程
（2）過點(diǎn)P（1，1）能否作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且P線段AB的中點(diǎn)，若能，求出直線l的方程，若不能，說明理由．

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，an+1=Sn+(-1)n，n∈N^*，且{an+

2

3

(-1)n}是等比數(shù)列．
（1）求a的值；
（2）求出通項(xiàng)公式a_n；
（3）求證：

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

＜

3

2

．

設(shè){a_n}是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），其前n項(xiàng)的和為S_n．記b_n=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c為實(shí)數(shù)．
（1）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求c的值．
（2）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比數(shù)列，證明：

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

＜

3

2

．

已知函數(shù)f（x），f（1）=1且?x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）恒成立．?n∈N^*，
有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1，
（1）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…b_nb_n+1，比較

4

3

S_n與T_n的大小并給出證明；
（2）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

6

35

[log 

1

2

（2x+1）-log 

1

2

（8x²-2）+1]對?n≥2都成立，求x的取值范圍．

設(shè)U={x|x為不大于6的自然數(shù)}，A={2，3，5}，B={x|x²-6x+8=0}，求∁_U（A∪B），（∁_UA）∪（∁_UB）．

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，對任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n•b_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
①求證：

1

2

≤T_n＜2；
②若對任意的n∈N^*，不等式λnT_n+2b_nS_n＜2（λn+3b_n）恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

在極坐標(biāo)系中，已知圓ρ=2cosθ與直線5ρcosθ+12ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值．

蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)．
（1）試給出f（4），f（5）的值；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f（n）的表達(dá)式；
（3）證明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜

4

3

．