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蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,第二個圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數.
(1)試給出f(4),f(5)的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n+1)與f(n)之間的關系式,并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式;
(3)證明:
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
4
3
考點:數學歸納法,歸納推理
專題:綜合題,推理和證明
分析:(1)根據圖象的規(guī)律可得f(4)和f(5)的值.
(2)根據相鄰兩項的差的規(guī)律可分析得出f(n+1)-f(n)=6n,進而根據合并求和的方法求得f(n)的表達式;
(3)根據(2)中求得的f(n)可得
1
f(n)
的表達式,進而利用裂項的方法證明原式.
解答: (1)解:f(4)=37,f(5)=61.
(2)解:由于f(2)-f(1)=7-1=6,
f(3)-f(2)=19-7=2×6,
f(4)-f(3)=37-19=3×6,
f(5)-f(4)=61-37=4×6,
因此,有f(n+1)-f(n)=6n,
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.
(3)證明:當k≥2時,
1
f(k)
=
1
3k2-3k+1
1
3k2-3k
=
1
3
1
k-1
-
1
k

所以
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
<1+
1
3
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]=1+
1
3
(1-
1
n
)<1+
1
3
=
4
3
點評:本題主要考查了數列的求和問題.數列的求和是數列的重要內容之一,出等差數列和等比數列外,大部分的數列求和都需要一定的技巧,如裂項法、倒序相加,錯位相減,分組求和等.
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將邊長為
2
a的正方形ABCD沿對角線AC折起,令BD=x,三棱錐D-ABC的體積為y,則函數y=f(x)的單調遞增區(qū)間為(  )
A、(0,a]
B、(0,
2
a]
C、(0,
3
a]
D、(0,2a)

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執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為( 。
A、6B、12C、20D、30

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已知數列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=an2+an,則
1
a1+1
+
1
a2+1
+
1
a3+1
+…+
1
a2014+1
的值所在區(qū)間是( 。
A、(0,1)
B、(1,2)
C、(2,3)
D、(3,4)

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比較下列各組數的大小
(1)sin 1,sin
π
3
;
(2)cos
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7
,cos
5 π
7

(3)sin110°,sin150°.

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nSn
n2+c
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(1)若數列{bn}是等差數列,求c的值.
(2)若c=0,且b1,b2,b4成等比數列,證明:
1
a1b1
+
1
a2b2
+…+
1
anbn
3
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<
π
2
)
,
(1)若cos(ϕ+
π
2
)=-
2
2
,求ϕ的值;
(2)若f(x)最大值與最小值之差等于4,其相鄰兩條對稱軸之間的距離等于
π
3
,求函數f(x)的解析式;
(3)在(2)的條件下,求最小正實數m,使f(x)圖象向右平移m個單位對應的函數是偶函數(只需寫出m的值,可不寫步驟)

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證明:凸n邊形(n≥3)的內角和為(n-2)•π.

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經過橢圓
x2
2
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