已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n∈N⁺）
（1）分別求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

如圖，已知ABCD是空間四邊形，AB=AD，CB=CD，求證：BD⊥AC．

如圖，在四面體ABCD中，O是BD的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

從1到9的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：
（Ⅰ）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？
（Ⅲ）在（Ⅰ）中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個？

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C₁C上一點(diǎn)，且CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求C點(diǎn)到平面AFD的距離；
（3）試在棱AA₁上找一點(diǎn)E，使得BE∥平面ADF．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求異面直線CB₁與C₁A₁所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求證：A₁B∥平面ADC₁；

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁＞1，公比q＞0，設(shè)b_n=log₂a_n，且b₃=2，b₅=0
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n及{a_n}的通項(xiàng)a_n．

如圖，正方形ABCD邊長為2，PA⊥平面ABCD，BF∥PA，BF=

1

3

PA，E為AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：DE∥平面PCF；
（Ⅱ）若PC與平面ABCD所成的角為60°，求二面角F-PC-A的余弦值．

“病毒X”已經(jīng)擴(kuò)散，威脅著人類．某兩個大國的研究所A、B獨(dú)立地研究“病毒X”疫苗，研究所A、B研制成功的概率分別為

1

3

和

1

4

，且他們是否研制成功互不影響．
（Ⅰ）求疫苗研制成功的概率；
（Ⅱ）若資源共享，則提高了效率，且他們研制成功的概率比獨(dú)立地研究時至少有一個研制成功的概率提高了50%．又疫苗研制成功可獲得經(jīng)濟(jì)效益a萬元，而資源共享時所得的經(jīng)濟(jì)效益只能兩個研究所平均分配．請你給A研究所參謀：是否應(yīng)該采用與B研究所合作的方式來研究疫苗，并說明理由．

如圖，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)D．
（1）求證：CE²=CD•CB；
（2）若AB=BC=2，求CE和CD的長．