某電視臺組織一檔公益娛樂節(jié)目，規(guī)則如下：箱中裝有2個紅球3個白球，參與者從中隨機摸出一球，若為白球，將其放回箱中，并再次隨機摸球；若為紅球，則紅球不放回并往箱中添加一白球，再次隨機摸球．如果連續(xù)兩次摸得白球，則摸球停止．設(shè)摸球結(jié)束時參與者摸出的紅球數(shù)是隨機變量譽，受益人獲得的公益金y．與摸出的紅球數(shù)ξ的關(guān)系是y=20000+5000ξ（單位：元）．
（Ⅰ）求在第一次摸得紅球的條件下，贏得公益金為30000元的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列與期望．

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₂=4，a₃+a₄=17．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=2^a_n+2，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列并求其前n項和T_n．

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}，其中0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，且n≥3，若對?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{0，1，3}與數(shù)集{0，2，4，6}是否具有性質(zhì)P，說明理由；
（Ⅱ）已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a₈}具有性質(zhì)P．
①求證：0∈A；
②判斷數(shù)列a₁，a₂，…，a₈是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請證明；若不是，請說明理由．

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中項為11．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

2

．
（1）證明：BC⊥SC
（2）求點A到平面SCB的距離．

已知圓M：x²+（y-2）²=1，直線l：y=-1，動圓P與圓M相外切，且與直線l切，設(shè)動圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，且

OA

•

OB

=-16，求證：直線AB恒過定點．

已知函數(shù)f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的最小值為M，求證：M≤1．

函數(shù)f（x）=

2+x x-1

的定義域為集合A，關(guān)于x的不等式(

1

2

)2x＞2^-a-x，（a∈R）的解集為B，
（1）分別求出集合A、B；
（2）求使A∩B=B的實數(shù)a的取值范圍．

以拋物線y²=4x的焦點為右焦點的橢圓，上頂點為B₂，右頂點為A₂，左、右焦點為F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，過點D（0，2）的直線l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N的中點為H，且

OH

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請說明理由．

某中學(xué)為豐富教工生活，國慶節(jié)舉辦教工趣味投籃比賽，有A、B兩個定點投籃位置，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分．其規(guī)則是：按先A后B再A的順序投籃．教師甲在A和B點投中的概率分別是

1

2

和

1

3

，且在A、B兩點投中與否相互獨立．
（Ⅰ）若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）若教師乙與甲在A、B點投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．