已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點(diǎn)，

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，且

m

•

n

=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，直線l：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)．設(shè)直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=e^xlnx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線為l，點(diǎn)（1，0）到直線l的距離為

2

2

，求a的值；
（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知過點(diǎn)P（2，-1）的直線l交橢圓

x 2

8

+

y 2

4

=1于M、N兩點(diǎn)，B（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)恰為點(diǎn)P．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）求△BMN的面積．

己知命題p：橢圓

x2

10-m

+

y2

m-2

=1，長(zhǎng)軸在y軸上．
（Ⅰ）若橢圓焦距為4，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）命題q：關(guān)于x的不等式x²-2x+m＞0的解集是R；若“p∧q”是假命題，“p∨q”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

如圖，已知橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

b2

=1(b2＜12)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比為

3

：

2

，圓O的圓心在原點(diǎn)O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）是否存在同時(shí)滿足下列條件的直線l：
    ①與圓O相切與點(diǎn)M（M位于第一象限）；
    ②與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使得

OA

•

OB

=2．若存在，求出此直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

在對(duì)某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取10件，測(cè)量該產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）．如圖是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖：

規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量≥15毫克時(shí)為優(yōu)質(zhì)品．
（Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率（優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù)）；
（Ⅱ）從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，|A₁B₂|=

7

，S?A1B1A2B2=2S ?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m過Q（1，1），且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．
（Ⅲ）設(shè)n為過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B的直線，|

OP

|=1，是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為

2

2

，且過點(diǎn)(2，

2

)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F₁作直線l₁與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)F₂作直線l₂與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且直線l₁，l₂互相垂直，試問

1

|MN|

+

1

|PQ|

是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出其取值范圍．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

4-v

+

y2

1-v

=1(1＜v＜4)有公共焦點(diǎn)，過橢圓C的右頂點(diǎn)B任意作直線l，設(shè)直線l交拋物線y²=2x于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)R（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且△OMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OMN的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．