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【題目】在一次運動會上,某單位派出了由6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽.
(1)如果隨機抽派5名隊員上場比賽,將主力隊員參加比賽的人數(shù)記為,求隨機變量的數(shù)學期望;
(2)若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷,不宜同時上場;替補隊員中有2名隊員身材相對矮小,也不宜同時上場,那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員,教練員有多少種組隊方案?
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為,直線的極坐標方程為.
(1)求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動點,為線段的中點,求點到直線的距離的最大值.
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【題目】已知數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列,數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,且滿足,,
(1)求數(shù)列,的通項公式;
(2)令,記數(shù)列的前n項和為,求證:對任意的,都有;
(3)若數(shù)列滿足,,記,是否存在整數(shù),使得對任意的 都有成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某市開發(fā)了一塊等腰梯形的菜花風景區(qū)(如圖).經(jīng)測量,長為百米,長為百米,與相距百米,田地內(nèi)有一條筆直的小路(在上,在上)與平行且相距百米.現(xiàn)準備從風景區(qū)入口處出發(fā)再修一條筆直的小路與交于,在小路與的交點處擬建一座瞭望塔.
(1)若瞭望塔恰好建在小路的中點處,求小路的長;
(2)兩條小路與將菜花風景區(qū)劃分為四個區(qū)域,若將圖中陰影部分規(guī)劃為觀賞區(qū).求觀賞區(qū)面積的最小值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為.斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),直線與橢圓的另一個交點為,直線與橢圓的另一個交點為.若,和點共線,求.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值;
(3)若,正實數(shù),滿足,證明:.
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【題目】已知橢圓的右焦點為,原點為,橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸,弦的中點為,過且垂直于線段的直線交射線于點.
(1)證明:點在定直線上;
(2)當最大時,求的面積.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,為的中點.
(I)若為上的一點,且與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,設(shè)異面直線與所成的角為45°,求直線與平面成角的正弦值.
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