Question

5．2006年6月，美國(guó)NASA向太空發(fā)射了“新視野號(hào)“，在經(jīng)歷九年的漫長(zhǎng)旅程之后，于7月14日的美國(guó)時(shí)間上午7：49經(jīng)過距離莫王星最近的點(diǎn)，該點(diǎn)距離具王星表面高h(yuǎn)=1.248×10⁷m．“新視野號(hào)”以13.78km/s掠過．已知冥王星直徑R=2.3×10⁶m（小于月球的）、質(zhì)量M_冥=1.29×10²²kg，與太陽平均距離r_冥=5.9×10¹²m、而地球與太陽的平均距離r_地=1.5×10¹¹m，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²
（1）求冥王星的公轉(zhuǎn)周期為多少地球年．（結(jié)果可保留根式）
（2）若要使“新視野號(hào)”到達(dá)最近點(diǎn)后能環(huán)繞冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)．其速度需立即減為多少？（結(jié)果可保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）冥王星和地球均圍繞太陽運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第三定律可求出冥王星的公轉(zhuǎn)周期
（2）在最近的地點(diǎn)圍繞冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解

解答 解：（1）根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{r}_{冥}^{3}}{{T}_{冥}^{2}}=\frac{{r}_{地}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$
${T}_{冥}^{\;}=\sqrt{\frac{{r}_{冥}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}{T}_{地}^{\;}$=$\sqrt{（\frac{5.9×1{0}_{\;}^{12}}{1.5×1{0}_{\;}^{11}}）_{\;}^{3}}{T}_{地}^{\;}$=248年
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$
$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$\sqrt{\frac{6.67×1{0}_{\;}^{-11}×1.29×1{0}_{\;}^{22}}{\frac{2.3×1{0}_{\;}^{6}}{2}+1.248×1{0}_{\;}^{7}}}$=2.5×$1{0}_{\;}^{2}m/s$
答：（1）求冥王星的公轉(zhuǎn)周期為248地球年
（2）若要使“新視野號(hào)”到達(dá)最近點(diǎn)后能環(huán)繞冥王星做圓周運(yùn)動(dòng)．其速度需立即減為$2.5×1{0}_{\;}^{2}$m/s

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是開普勒第三定律的應(yīng)用，衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力及其相關(guān)知識(shí)解答．