Question

4．如圖1所示，厚度均勻、上表面為長方形ABB′A′的平板靜止在光滑水平面上，平板上OO′所在直線與AB平行，CC′所在直線與OO′垂直．平板上表面的A A′至CC′段是粗糙的，CC′至BB′段是光滑的．將一輕質(zhì)彈簧沿OO′方向放置在平板上，其右端固定在平板BB′端的輕質(zhì)擋板上，彈簧處于原長時其左端位于CC′線上．在t=0時刻，有一可視為質(zhì)點的小物塊以初速度v₀從平板的AA′端沿OO′方向滑上平板，小物塊在平板上滑行一段時間后，從t₁時刻開始壓縮彈簧，又經(jīng)過一段時間，在t₂時刻小物塊與平板具有共同速度v₁．已知平板質(zhì)量M=4.0kg，AA′與BB'之間的距離L₁=1.30m，彈簧的原長L₂=0.35m，小物塊的質(zhì)量m=1.0kg，速度v₀=5m/s，速度v₁=1.0m/s，小物塊與平板粗糙面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.20，取重力加速度g=10m/s²，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，小物塊始終在OO'所在直線上．求：

（1）小物塊壓縮彈簧前在平板上滑行的時間；
（2）小物塊壓縮彈簧過程中，彈簧所具有的最大彈性勢能；
（3）請在圖2中定性畫出0～t₂時間內(nèi)小物塊的速度v隨時間t變化的圖象．（圖中t₁為小物塊開始壓縮彈簧的時刻；t₂為小物塊與平板具有共同速度的時刻）

Answer 1

分析 （1）小物塊滑上平板后，在滑動摩擦力作用下，小物塊做勻減速運動，平板做勻加速運動，物塊剛壓縮彈簧時，兩者位移之差等于L₁-L₂，根據(jù)牛頓第二定律、位移時間公式和位移關(guān)系列式求解．
（2）根據(jù)速度公式分別求出物塊剛接觸彈簧時的速度．當兩者的速度相等時，彈簧的彈性勢能達到最大，再由能量守恒定律求彈簧所具有的最大彈性勢能．
（3）分段畫出v-t圖象．

解答 解：（1）在0-t₁時間內(nèi)，小物塊做勻減速直線運動，平板做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
小物塊的加速度 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²；（向左）
平板的加速度 a₂=$\frac{μmg}{M}$=0.5m/s²；（向右）
小物塊的位移 x₁=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
平板的位移 x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
又 x₁-x₂=L₁-L₂；
聯(lián)立解得 t=0.2s
（2）小物塊剛接觸彈簧時：
小物塊的速度 v_塊=v₀-a₁t
平板的速度 v_板=a₂t
解得 v_塊=4.6m/s，v_板=0.1m/s
設(shè)彈簧所具有的最大彈性勢能為 E_p，小物塊壓縮彈簧過程中，根據(jù)機械能守恒定律得
E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{塊}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{板}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得 E_p=8.1J
（3）在0-t₂時間內(nèi)，小物塊的速度v隨時間t變化的圖象2所示．
答：
（1）小物塊壓縮彈簧前在平板上滑行的時間是0.2s．
（2）小物塊壓縮彈簧過程中，彈簧所具有的最大彈性勢能是8.1J．
（3）在0-t₂時間內(nèi)，小物塊的速度v隨時間t變化的圖象2所示．

點評 本題首先要理清物理過程，抓住物塊與平板位移關(guān)系，運用牛頓運動定律和運動學公式結(jié)合分析求解，也可以根據(jù)動能定理和能量守恒定律結(jié)合解答．