Question

5．如圖所示，AB是傾角為θ=53°的粗糙直軌道，BCD是半徑為R的光滑圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切．一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程s；
（2）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D（E、O、D為同一條豎直直徑上的3個(gè)點(diǎn)），釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿足什么條件．
（3）若物體從距B點(diǎn)d=3R處?kù)o止滑下，則物體離開(kāi)圓軌時(shí)離圓心O點(diǎn)的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于要克服摩擦力做功，機(jī)械能不斷損失，最終物體以B（還有B關(guān)于OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）為最高點(diǎn)，在圓弧底部做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，對(duì)整個(gè)過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出物體在AB軌道上通過(guò)的總路程s．
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)中物體能過(guò)最高點(diǎn)D的條件求出D點(diǎn)的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理求出L，從而得到L應(yīng)滿足的條件．
（3）由牛頓第二定律求出物體到達(dá)B點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用動(dòng)能定理與幾何知識(shí)求出高度．

解答 解：（1）因?yàn)樵贏B軌道上摩擦力始終對(duì)物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)．
對(duì)整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理得：mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0，
解得總路程為：$s=\frac{R}{μ}=\frac{R}{0.5}=2R$；
（2）設(shè)物體剛好到D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg=$m\frac{v_D^2}{R}$，
對(duì)全過(guò)程，由動(dòng)能定理得：mgLsin θ-μmgcos θ•L-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$m$v_D^2$-0，
解得：L≥$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=4.2R；
（3）設(shè)物體離開(kāi)圓軌時(shí)，所在半徑與水平方向夾角為β．由牛頓第二定律得：$mgsinβ=m\frac{{v_{\;}^2}}{R}$，
從B點(diǎn)到離開(kāi)軌道的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
$mg（dsinθ-Rcosθ-Rsinβ）-μmgdcosθ=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：sinβ=0.6，距圓心高為：h=Rsinβ=0.6R；
答：（1）物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的總路程s為2R；
（2）釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L應(yīng)滿足什么條件是：L≥4.2R．
（3）若物體從距B點(diǎn)d=3R處?kù)o止滑下，則物體離開(kāi)圓軌時(shí)離圓心O點(diǎn)的高度是：0.6R．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，判斷物體最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)向心力來(lái)源，應(yīng)動(dòng)能定理、向心力知識(shí)結(jié)合解答．