Question

5．某行星圍繞太陽做圓周運動，已知該行星的質量為m，太陽的質量為M，太陽與該行星的距離為r．（引力常量為G）求：
（1）行星線速度的大小；
（2）行星的向心加速度大小
（3）行星的周期．

Answer 1

分析 研究行星繞太陽表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式求解線速度、加速度以及周期．

解答 解：（1）根據萬有引力定律得該行星做圓周運動的向心力的大小為：F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$
研究行星繞題意表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
（2）根據萬有引力提供向心力列出等式得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
所以：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
（3）根據萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
所以：T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
答：（1）衛(wèi)星的運行速度是$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
（2）行星的向心加速度大小是$\frac{GM}{{r}^{2}}$；
（3）行星的周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．

點評 該題考查萬有引力定律的一般應用，解決該題關鍵要通過萬有引力提供向心力求解，能正確選擇向心力的公式．