Question

14．如圖所示，$\frac{1}{4}$豎直圓弧軌道與水平板組合成一體，其質量M=4kg，半徑R=0.25m，一輕質彈簧右端固定在平板上，彈簧的原長正好等于水平板的長度．組合體放在水平地面上并與左側豎直墻壁緊挨在一起．將質量m=1kg的小物塊（可視為質點）從圓弧軌道上端以初速度v₀=2m/s釋放，物塊到達圓弧軌道最低點時與彈簧接觸并壓縮彈簧．已知小物塊與水平板間的動摩擦因數μ=0.2，彈簧的最大壓縮量x=0.2m，其它接觸面的摩擦均不計，重力加速度g取10m/s²．求：

（1）小物塊到達圓弧軌道最低點時對軌道的壓力；
（2）彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）小物塊從圓弧軌道上端到圓弧軌道最低點的過程中，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求出小物塊到達圓弧軌道最低點時的速度，再由牛頓運動定律求對軌道的壓力；
（2）小物塊壓縮彈簧后，平板向右作加速運動，物塊作減速運動，當兩者速度時，彈簧的彈性勢能最大．根據動量守恒定律與能量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢能．

解答 解：（1）小物塊從圓弧軌道上端到圓弧軌道最低點的過程機械能守恒，則有：
  $\frac{1}{2}m{v_0}^2+mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
小物塊到達圓弧軌道最低點時，由牛頓第二定律有：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
聯立解得 F_N=46N
根據牛頓第三定律，小物塊對軌道的壓力${F_N}^′=46N$，豎直向下．
（2）自小物塊接觸彈簧到彈簧壓縮最短的過程中，取向右為正方向，小物塊、彈簧、組合體組成的系統(tǒng)：
由動量守恒定律得 mv=（m+M）v′
由能量守恒定律得 $\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}（m+M）{v'^2}+Q+{E_P}$
又 Q=μmgx
解得：E_p=3.2J
答：
（1）小物塊到達圓弧軌道最低點時對軌道的壓力大小為46N，方向豎直向下；
（2）彈簧的最大彈性勢能是3.2J．

點評 分析清楚物體的運動過程，把握彈性勢能最大的條件：速度相同是正確解題的關鍵，分析清楚運動過程后，應用動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．