Question

17．地球半徑為R，自轉(zhuǎn)的角速度為ω，地表重力加速度為g．現(xiàn)在要發(fā)射一顆質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星，請(qǐng)你擔(dān)當(dāng)該項(xiàng)目的工程師，計(jì)算有關(guān)發(fā)射該衛(wèi)星的重要數(shù)據(jù)．（提供信息：以地面為0勢(shì)能參考面，物體所具有重力勢(shì)能的數(shù)學(xué)表達(dá)式為E_p=GMm（$\frac{1}{R}$-$\frac{1}{R+h}$），其中h是物體距離地面的高度．）
（1）計(jì)算在什么位置，衛(wèi)星的機(jī)械能最�。�
（2）在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，要完成發(fā)射任務(wù)，我們給衛(wèi)星的最小發(fā)射能量是多少？（注意：E_p、M、h不作為已知量）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力列式求解，求出在h高處的速度，再求出在h高處的機(jī)械能的表達(dá)式進(jìn)行討論；
（3）在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下結(jié)合第一宇宙速度求解．

解答 解：（1）假設(shè)衛(wèi)星在h高處的機(jī)械能最小，由萬(wàn)有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
則衛(wèi)星在h高處的動(dòng)能為：E_K=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GMm}{2（R+h）}$，
衛(wèi)星在h高處的機(jī)械能為：E=E_K+E_P=$\frac{GMm}{2（R+h）}$+$GMm（\frac{1}{R}-\frac{1}{R+h}）$=$\frac{GMm}{R}$-$\frac{GMm}{R+h}$
由結(jié)果分析可知，當(dāng)在地球的表面上，即h=0時(shí)，機(jī)械能有最小值；
（2）在地球表面上發(fā)射衛(wèi)星速度至少要達(dá)到第一宇宙速度，即：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
如果考慮地球的自轉(zhuǎn)，即發(fā)射前衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)，已經(jīng)有速度為ωR，
則在地球表面上發(fā)射衛(wèi)星至少需要的能量為：
E_min=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m（ωR）²=$\frac{GMm}{2R}$-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$
由黃金代換GM=gR²
解得：E_min=$\frac{1}{2}$mgR-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$
答：（1）當(dāng)在地球的表面上，即h=0時(shí)，衛(wèi)星的機(jī)械能最��；
（2）在考慮地球自轉(zhuǎn)的情況下，要完成發(fā)射任務(wù)，我們給衛(wèi)星的最小發(fā)射能量為解得：$\frac{1}{2}$mgR-$\frac{{mω}^{2}{R}^{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情況、受力情況和能量轉(zhuǎn)化情況，結(jié)合牛頓第二定律和能量守恒定律列式求解，知道第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度．