Question

13．如圖所示，P是固定在水平面上的圓弧軌道，O是圓弧的圓心，C為圓弧軌道最高點(diǎn)，D為圓弧軌道最低點(diǎn)，從高臺(tái)邊B點(diǎn)以速度v₀水平飛出質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球，恰能從圓弧軌道的左端A點(diǎn)沿圓弧切線方向進(jìn)入，θ是OA與豎直方向的夾角，圓弧軌道的豎直直徑COD右邊存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，已知：m=1kg，v₀=3m/s，q=1.6×10^-4C，E=10⁴V/m，θ=53°，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)C，不計(jì)空氣阻力和所有摩擦．求：
（1）A、B兩點(diǎn)的高度差；
（2）圓弧軌道的半徑R大�。�

Answer 1

分析 （1）小球從B到A做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度沿圓弧切線方向，由速度的分解法求出小球經(jīng)過A點(diǎn)的速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)速度位移關(guān)系公式求A、B間的高度差．
（2）小球從A點(diǎn)到D點(diǎn)再到C點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式．在C點(diǎn)，由重力和電場(chǎng)力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律列式，聯(lián)立可求得半徑R．

解答 解：（1）小球從B到A做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)．據(jù)題知，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，速度與水平方向的夾角為θ，則有
小球到達(dá)A點(diǎn)的速度為 v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{3}{cos53°}$=5m/s
豎直分速度為 v_y=v₀tanθ=4m/s
A、B兩點(diǎn)的高度差 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{{4}^{2}}{20}$m=0.8m
（2）小球從A點(diǎn)到D點(diǎn)再到C點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：
  mgR（1-cosθ）-2mgR-2qER=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ 
在C點(diǎn)，由重力和電場(chǎng)力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得
  mg+qE=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)，解得 R=0.5m
答：
（1）A、B兩點(diǎn)的高度差是0.8m；
（2）圓弧軌道的半徑R大小是0.5m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握處理平拋運(yùn)動(dòng)的方法，平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)．并能把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件．