Question

1．如圖a所示，直角坐標(biāo)系的第一象限有磁場(chǎng)分布，方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度沿y軸方向沒有變化，與x軸的關(guān)系如圖b所示，圖象是反比例函數(shù)；頂角θ=45°的光滑金屬長導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，ON與x軸重合，一根與ON垂直的長導(dǎo)體棒在水平向右的外力作用下沿導(dǎo)軌MON向右滑動(dòng)，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌良好接觸．已知t=0時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂點(diǎn)O處，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m=2kg，導(dǎo)體棒的電阻為1?/m，其余電阻不計(jì)．回路電動(dòng)勢(shì)E與時(shí)間t的關(guān)系如圖c所示，圖線是過原點(diǎn)的直線．求：
（1）t=2s時(shí)流過導(dǎo)體棒的電流I₂的大��；
（2）導(dǎo)體棒滑動(dòng)過程中水平外力F（單位：N）與橫坐標(biāo)x（單位：m）的關(guān)系式；
（3）0-2s時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析 （1）由E-t圖象讀出t=2s時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv分析金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到加速度，從而求得導(dǎo)體棒的位移，根據(jù)導(dǎo)體棒的長度求出回路中的電阻，即可由歐姆定律求解流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I₂的大小．
（2）運(yùn)用牛頓第二定律求解F與x的關(guān)系式．
（3）根據(jù)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出2s末導(dǎo)體棒的速度，由功的計(jì)算公式求出F做功，根據(jù)能量守恒定律求電熱．

解答 解：（1）根據(jù)E-t圖象中的圖線是過原點(diǎn)的直線特點(diǎn)，可知，E與t成正比，則得，t=2s時(shí)導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=4V
因θ=45°，可知t時(shí)刻回路中導(dǎo)體棒有效切割長度 L=x
B-x圖象中圖線是雙曲線，則有：Bx=k=2×0.5=1T•m
則E=BLv=（Bx）v=v
由圖c知：E與t成正比，且有 E=2t（V）
由以上三式得：v=2t（m/s）
可知導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度 a=2m/s²，則2s內(nèi)位移為
   x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=4m
此時(shí)回路中的電阻 R=x•1?/m=4?
由歐姆定律得：
  I₂=$\frac{E}{R}$=$\frac{4}{4}$A=1A
（2）導(dǎo)體棒的位移為x時(shí)，由x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得 t=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{x}$
此時(shí)棒的速度 v=2t=2$\sqrt{x}$
經(jīng)歷的時(shí)間為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=v=2$\sqrt{x}$
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{x•1Ω/m}$=$\frac{2\sqrt{x}}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{x}}$
再根據(jù)牛頓第二定律有：F-BIx=ma
即 F-vI=ma
代入得：F-2$\sqrt{x}$•$\frac{2}{\sqrt{x}}$=2×2
聯(lián)立解得：F=6N
（3）0-2s時(shí)間內(nèi)，x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$m=4m
2s末棒的速度 v=2t=4m/s
根據(jù)能量守恒得：Fx=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得，電熱 Q=8J
答：
（1）t=2s時(shí)流過導(dǎo)體棒的電流I₂的大小是1A；
（2）導(dǎo)體棒滑動(dòng)過程中水平外力F與橫坐標(biāo)x的關(guān)系式是 F=6N；
（3）0-2s時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的電熱是8J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵首先要正確理解兩個(gè)圖象的數(shù)學(xué)意義，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)寫出電流與時(shí)間的關(guān)系，要掌握牛頓運(yùn)動(dòng)定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式．