Question

如圖所示，質量為m的小物塊放在長直水平面上，用水平細線緊繞在半徑為R、質量為2m的薄壁圓筒上．t=0時刻，圓筒在電動機帶動下由靜止開始繞豎直中心軸轉動，轉動中角速度滿足ω=β₁t（β₁為已知常數），物塊和地面之間動摩擦因數為μ．求：

（1）物塊做何種運動？請說明理由．

（2）物塊運動中受到的拉力．

（3）從開始運動至t=t₁時刻，電動機做了多少功？

（4）若當圓筒角速度達到ω₀時，使其減速轉動，并以此時刻為t=0，且角速度滿足ω=ω₀－β₂t（式中ω₀、β₂均為已知），則減速多長時間后小物塊停止運動？

Answer 1

【知識點】動能定理；牛頓第二定律． C2 E2

【答案解析】（1）物塊做初速為零的勻加速直線運動；（2）μmg+m Rβ₁；（3）μmgRβ₁t₁²+m(Rβ₁t₁)²；（4）若a≤μg，減速時間后小物塊停止運動；若a＞μg，減速時間后小物塊停止運動． 解析：（1）圓筒邊緣線速度與物塊前進速度大小相同

根據v=ωR=Rβ₁t，線速度與時間成正比，物塊做初速為零的勻加速直線運動   

（2）由（1）問分析結論，物塊加速度為a= Rβ₁              

根據物塊受力，由牛頓第二定律得 T－μmg=ma            

則細線拉力為 T=μmg+m Rβ₁                                 

（3）對整體運用動能定理，有W_電+W_f =                    

其中W_f =－μmgs = －μm g                 

則電動機做的功為  W_電= μmg  +      

（或對圓筒分析，求出細線拉力的做功，結果正確同樣給分）

（4）圓筒減速后，邊緣線速度大小v=ωR=ω₀R－Rβ₂t，線速度變化率為a= Rβ₂

若a≤μg，細線處于拉緊狀態(tài)，物塊與圓筒同時停止，物塊減速時間為 t=ω₀/β₂

若a>μg，細線松弛，物塊水平方向僅受摩擦力，物塊減速時間為t=ω₀R/μg 

【思路點撥】（1）根據公式v=ωR求解出線速度表達式進行分析即可；（2）受力分析后根據牛頓第二定律列式求解拉力；（3）電動機做的功等于細線對滑塊拉力做的功，對滑塊的加速過程根據動能定理列式求解即可；（4）分細線拉緊和沒有拉緊兩種情況分析．本題提到了角加速度這個新的概念，關鍵是推導出滑塊的線速度公式進行分析，將轉動的研究轉化為平動的研究進行分析．