Question

2．如圖所示，將小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）平放在水平桌面的一張薄紙上，對(duì)紙施加恒定水平 拉力將其從物塊底下抽出，物塊的位移很小，人眼幾乎觀察不到物塊的移動(dòng)．已知物塊的質(zhì)量為M，紙與桌面、物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₁，紙與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂，重力加速度為g．
（1）若薄紙的質(zhì)量為m，則從開(kāi)始抽紙到紙被抽離物塊底 部的過(guò)程中，
①求薄紙所受總的摩擦力為多大； 
②從沖量和動(dòng)量的定義，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，證明：水平拉力F和桌面對(duì)薄紙摩擦力的總沖量等于物塊和紙的總動(dòng)量的變化量．（注意：解題過(guò)程中需要用到、但題目中沒(méi)有 給出的物理量，要在解題中做必要的說(shuō)明．）
（2）若薄紙質(zhì)量可忽略，紙的后邊緣到物塊的距離為L(zhǎng)，從開(kāi)始抽紙到物塊最終停下，若物塊相對(duì)桌面移動(dòng)了很小的距離s₀（人眼觀察不到物塊的移動(dòng)），求此過(guò)程中水平拉力所做的功．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式f=μN(yùn)求解摩擦力．
②根據(jù)牛頓第二定律得物塊和薄紙的加速度．從而得到速度的變化量，再研究水平拉力F和桌面對(duì)薄紙摩擦力的總沖量，即可證明．
（2）根據(jù)相對(duì)位移，得到摩擦產(chǎn)生的熱量，利用功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）①?gòu)拈_(kāi)始抽紙到紙被抽離物塊底部的過(guò)程中，
物塊對(duì)薄紙施加的摩擦力 f_物=μ₂Mg
水平桌面對(duì)薄紙施加的摩擦力 f_桌=μ₁（M+m）g
薄紙受到的總的摩擦阻力 f_總=μ₁（M+m）g+μ₂Mg
②從開(kāi)始抽紙到薄紙被抽離物塊底部的過(guò)程，假設(shè)物塊的加速度為a_M、薄紙的加速度為a_m，所用時(shí)間為t，這一過(guò)程物塊和紙張的速度變化量分別為△v_M，△v_m．
則有△v_M=a_Mt，△v_m=a_mt，
對(duì)于薄紙，根據(jù)牛頓第二定律有 F-f_桌-f_物=ma_m
對(duì)于物塊，根據(jù)牛頓第二定律有   f_紙=Ma_M
由牛頓第三定律有    f_物=f_紙
由以上三式解得    F-f_桌=ma_m+Ma_M
上式左右兩邊都乘以時(shí)間t，有（F-f_桌）t=ma_mt+Ma_Mt=m△v_m+M△v_M
上式左邊即為水平拉力F和桌面對(duì)薄紙摩擦力的總沖量，右邊即為物塊和紙的總動(dòng)量的變化量．命題得證．
說(shuō)明：其他方法正確同樣得分．
（2）設(shè)物塊在薄紙上加速和在桌面上減速的位移分別為x₁，x₂，
則物塊對(duì)地位移 s₀=x₁+x₂
因薄紙質(zhì)量可忽略，故其動(dòng)能可忽略，所以水平拉力F所做的功有以下一些去向：
薄紙與桌面間的摩擦生熱  Q₁=μ₁Mg（x₁+L）
物塊與薄紙間的摩擦生熱  Q₂=μ₂Mgs_相=μ₂MgL
物塊與桌面間的摩擦生熱  Q₃=μ₁Mgx₂
由功能關(guān)系有 W_F=Q₁+Q₂+Q₃
解得 W_F=μ₁Mg（s₀+L）+μ₂MgL
所以，水平拉力F所做的功 W=μ₁Mg（s₀+L）+μ₂MgL．
答：
（1）①薄紙所受總的摩擦力為μ₁（M+m）g+μ₂Mg．②證明見(jiàn)上．
（2）此過(guò)程中水平拉力所做的功為μ₁Mg（s₀+L）+μ₂MgL．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵對(duì)物塊和薄紙分別受力分析后根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；要知道摩擦生熱與相對(duì)位移有關(guān)，利用功能關(guān)系也是求功的一種方法．