Question

19．如圖所示，右邊傳送帶長(zhǎng)L=15m、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v₀=16m/s，左邊是光滑豎直半圓軌道（半徑R=0.8m），中間是光滑的水平面AB（足夠長(zhǎng)）．用輕質(zhì)細(xì)線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質(zhì)彈簧，彈簧與甲、乙兩物體不拴連．甲的質(zhì)量為m₁=3kg，乙的質(zhì)量為m₂=1kg，甲、乙均靜止在光滑的水平面上．現(xiàn)固定甲物體，燒斷細(xì)線，乙物體離開彈簧后在傳送帶上滑行的最遠(yuǎn)距離為s_m=12m．傳送帶與乙物體間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.6，重力加速度g取10m/s²，甲、乙兩物體可看作質(zhì)點(diǎn)．
（1）固定乙物體，燒斷細(xì)線，甲物體離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道，求甲物體通過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）甲、乙兩物體均不固定，燒斷細(xì)線以后（甲、乙兩物體離開彈簧時(shí)的速度大小之比為$\frac{{v}_{1}′}{{v}_{2}′}$=$\frac{1}{3}$），問甲物體和乙物體能否再次在AB面上發(fā)生水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞前瞬間甲、乙兩物體的速度；若不會(huì)碰撞，說明原因．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得速度，再由機(jī)械能這定律可求得D點(diǎn)的速度，由牛頓第二定律及向心力公式可求得對(duì)軌道的壓力；
（2）根據(jù)能量關(guān)系及題意給出的速度關(guān)系可求得彈出后的速度，再分別對(duì)兩物體進(jìn)行分析，明確二者再次相遇時(shí)的速度，從而分析能否相撞．

解答 解：（1）乙物體滑上傳送帶做勻減速運(yùn)動(dòng)：μm₂g=m₂a①
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v₂²=2as_m②
由機(jī)械能守恒定律得彈簧壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_p=$\frac{1}{2}$m₂v₂²③
固定乙物體，燒斷細(xì)線，甲物體離開彈簧的速度滿足：E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²④
甲物體從B運(yùn)動(dòng)到D過程中機(jī)械能守恒：2m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²-$\frac{1}{2}$m₁v_D²⑤
甲物體在D點(diǎn)：m₁g+F_N=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$⑥
聯(lián)立①～⑥得F_N=30 N
由牛頓第三定律知F_N′=F_N=30 N
（2）甲、乙兩物體均不固定，燒斷細(xì)線以后：E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²⑦
由題意：$\frac{{v}_{1}′}{{v}_{2}′}$=$\frac{1}{3}$                                            ⑧
解得：v₁′=2$\sqrt{3}$ m/s，v₂′=6$\sqrt{3}$ m/s
之后甲物體沿軌道上滑，設(shè)上滑的最高點(diǎn)高度為h，則$\frac{1}{2}$m₁v₁′²=m₁gh，
得h=0.6 m＜0.8 m
故甲滑不到與圓心等高位置就會(huì)返回，返回AB面上時(shí)速度大小仍然是
v₁′=2$\sqrt{3}$ m/s
乙物體滑上傳送帶，因v′=6$\sqrt{3}$ m/s＜16 m/s，則乙物體先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向左做勻加速運(yùn)動(dòng)．
由對(duì)稱性可知乙物體返回AB面上時(shí)速度大小仍然為v′=6$\sqrt{3}$ m/s
甲物體和乙物體能再次在AB面上發(fā)生水平碰撞．
答：（1）甲物體通過D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為30N；
（2）甲物體和乙物體會(huì)再次在AB面上發(fā)生水平碰撞；再次碰撞前瞬間甲、乙兩物體的速度分別為2$\sqrt{3}$ m/s和6$\sqrt{3}$ m/s

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與彈簧有關(guān)的能量問題，有一定綜合性，關(guān)鍵要清楚分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，能選擇不同的研究過程運(yùn)用物理規(guī)律求解．明確能量關(guān)系的正確應(yīng)用．