Question

20．如圖所示，底面半徑為R=1m的平底漏斗水平放置，質(zhì)量為m=1kg的小球置于底面邊緣，漏斗內(nèi)表面光滑，側(cè)壁的傾角為37°．現(xiàn)給小球一垂直于半徑向里的某一初速度，使之在漏斗內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，（重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小球不脫離底面時(shí)，角速度ω的取值？
（2）當(dāng)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁=2rad/s時(shí)底面的支持力F₁和側(cè)壁的支持力F₂多大？

Answer 1

分析 （1）小球在漏斗底面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力提供向心力，對(duì)小球受力分析，分底面的支持力為零和不為零兩種情況，根據(jù)牛頓第二定律列式討論即可求解．
（2）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，水平方向的分力提供向心力，豎直方向處于平衡狀態(tài)，分別列方程即可求出．

解答 解：（1）小球在漏斗底面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，合外力提供向心力，對(duì)小球受力分析，受到重力、底面的支持力以及側(cè)面的彈力，若側(cè)面對(duì)小球的彈力豎直方向分量恰好等于重力時(shí)，小球受兩個(gè)力的作用，恰好要離開地面；
當(dāng)?shù)酌鎸?duì)小球的支持力為零時(shí)，由重力和側(cè)面的彈力的合力提供向心力，則有：
mgtanθ=mω²R
解得：ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{R}}=\sqrt{\frac{10×tan37°}{1}}=5\sqrt{0.3}$rad/s；
（2）當(dāng)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁=2rad/s時(shí)小球的受力如圖，側(cè)壁的支持力F₂沿水平方向的分力提供向心力，得：

${F}_{2}sin37°=m{ω}_{1}^{2}R$
得：F₂=$\frac{20}{3}$N
豎直方向：F₂cos37°+F₁=mg
得：F₁=$\frac{14}{3}$N
答：（1）小球不脫離底面時(shí)，角速度ω的取值是$5\sqrt{0.3}$rad/s
（2）當(dāng)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁=2rad/s時(shí)底面的支持力F₁和側(cè)壁的支持力F₂分別是$\frac{14}{3}N和\frac{20}{3}N$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解，明確當(dāng)?shù)酌鎸?duì)小球的支持力為零時(shí)，由重力和側(cè)面的彈力的合力提供向心力．