Question

12．如圖所示，斜面體固定在水平地面上，斜面光滑，傾角為θ，斜面底端固定有與斜面垂直的擋板，木板下端離地面高H，上端放著一個小物塊．木板和小物塊的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，大小為kmgsinθ（k＞1），斷開輕繩，木板和小物塊一起沿斜面下滑．假設木板足夠長，與擋板發(fā)生碰撞時，時間極短，無動能損失，空氣阻力不計．求：
（1）木板第一次與擋板碰撞后，沿斜面上升的過程中，小物塊的加速度；
（2）從斷開輕繩到木板與擋板第二次碰撞的過程中，木板運動的路程s；
（3）木板與擋板第二次碰撞時的速度．

Answer 1

分析 （1）木板上升時，對物塊受力分析，在沿斜面方向上由牛頓運動定律列式求解，便可求出物塊的加速度．
（2）此題要分段進行計算，第一段是木板開始下落直至第一次與擋板碰撞的過程，由幾何關系可求出此過程的路程為$\frac{H}{sinθ}$，第二段是從第一次與擋板碰撞到第一次運動到最高點，第三段是從最高點下落到第二次與擋板碰撞，后兩段路程相同．可由牛頓運動定律和運動學公式求得．
（3）先求出二者相對靜止時的速度和位移，再根據(jù)速度和位移關系求出木板與擋板第二次碰撞時的速度

解答 解：（1）設木板第一次上升過程中，物塊的加速度為a_物塊
物塊受合力  F_物塊=kmgsinθ-mgsinθ
由牛頓第二定律 F_物塊=ma_物塊
聯(lián)立解得  a_物塊=（k-1）gsinθ，
方向沿斜面向上
（2）設以地面為零勢能面，木板第一次與擋板碰撞時的速度大小為v₁
由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}$×2mv₁²=2mgH
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$
設木板彈起后的加速度a板 由牛頓第二定律 a_板=-（k+1）gsinθ
木板第一次彈起的最大路程S₁=$\frac{-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{板}}$  
解得 
S₁=$\frac{H}{（k+1）sinθ}$
木板運動的路程  S=$\frac{H}{sinθ}$+2S₁$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$
（3）設經(jīng)時間t'木板與物塊速度相同
則有v₀-（k-1）gsinθt′=-v₀+（k+1）gsinθt'
解得：t'=$\frac{{v}_{0}}{kgsinθ}$        
這時物塊的速度v'=v₀-（k-1）gsinθt'=$\frac{{v}_{0}}{k}$
這過程中木板的位移
x=$\frac{v{′}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2（k+1）gsinθ}$=$\frac{{v}_{0}^{2}（k-1）}{2gsinθ{k}^{2}}$
根據(jù)位移和速度關系可得：
v₂²-v'²=2gsinθx
解得木板與擋板第二次碰撞時的速度為v₂=$\frac{{v}_{0}}{k}$=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
答：（1）木板第一次與擋板碰撞后，沿斜面上升的過程中，小物塊的加速度為（k-1）gsinθ，
（2）從斷開輕繩到木板與擋板第二次碰撞的過程中，木板運動的路程s為$\frac{H}{sinθ}$+2S₁$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$；
（3）木板與擋板第二次碰撞時的速度為$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律以及共點力平衡條件的應用，要注意正確分析物理過程，正確受力分析，再正確選擇物理規(guī)律求解即可．