Question

16．在傾角為θ的平直斜面坡的下端，與光滑斜面成α角向斜坡上方拋出一彈性小球，拋出速度為v₀．
（1）求小球沿斜坡的射程．
（2）設球與光滑斜面的碰撞是彈性的，即碰撞后小球將以同樣大的垂直于斜面的分速度反跳，而與斜面平行的速度分量不變，試證明小球與斜面碰撞一次后能沿相同的軌跡返回出發(fā)點的條件是2tanθtanα=1．

Answer 1

分析 （1）將小球的速度與受力沿斜面的方向分解，寫出沿斜面方向和垂直于斜面方向的分速度，結合牛頓第二定律求出沿斜面方向與垂直于斜面方向的分加速度，最后結合運動學的公式即可求出；
（2）小球下落時將與斜面做彈性碰撞．且小球返跳回出發(fā)點A，說明小球與斜面碰撞時，小球受到的方向與斜面垂直，只有這樣，小球的運動才具有對稱性，才能滿足題目的要求．可將運動過程分解成垂直斜面和平行于斜面的兩個運動．垂直于斜面的運動可看作受力mgcosθ的兩次類豎直上拋運動，代入相應的公式即可求得結果．

解答 解：（1）沿斜面向上和垂直于斜面向上建立坐標系，將小球的速度和受到的重力分解如圖：

則沿斜面的方向：v_x=v₀cosα，${a}_{x}=-\frac{{G}_{x}}{m}=-gsinθ$①
沿垂直于斜面的方向：v_y=v₀sinα，a_y=gcosθ     ②
當小球落在斜面上時，豎直方向的分速度變成垂直于斜面向下，所以運動的時間：${t}_{0}=\frac{2{v}_{y}}{{a}_{y}}=\frac{2{v}_{0}sinα}{gcosθ}$  ③
所以小球沿斜面方向的位移：$x={v}_{x}•{t}_{0}+\frac{1}{2}{a}_{x}•{t}_{0}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}sin2α}{gcosθ}-\frac{2{v}_{0}^{2}si{n}^{2}αsinθ}{gco{s}^{2}θ}$
（2）若球與光滑斜面的碰撞是彈性的，即碰撞后小球將以同樣大的垂直于斜面的分速度反跳，將運動過程分解成垂直斜面和平行于斜面的兩個運動．
由題意，到達斜面的頂端時，沿斜面方向的初速度：v_x0=v₀cosα，末速度：v_x=0．沿斜面方向的加速度：a_x=-gsinθ，
所以運動的時間：$t=\frac{△{v}_{x}}{gsinθ}=\frac{{v}_{0}cosα}{gsinθ}$…④
垂直于斜面的方向：v_y0=v₀sinα，加速度：a_y=gcosθ，所以運動的時間：$t=\frac{2{v}_{y0}}{{a}_{y}}=\frac{2{v}_{0}sinα}{gcosθ}$…⑤
聯(lián)立④⑤解得：2tanθtanφ=1
答：（1）小球沿斜坡的射程是$\frac{{v}_{0}^{2}sin2α}{gcosθ}-\frac{2{v}_{0}^{2}si{n}^{2}αsinθ}{gco{s}^{2}θ}$．
（2）證明見上．

點評 該題是一道競賽題目，解題的關鍵是要抓住小球與斜面碰撞時，小球受到的方向與斜面垂直，才能解答．
另外，該題也可以使用位移時間關系求解，結果相同．