Question

6．如圖甲所示，帶電荷的粒子以水平速度V₀沿O′的方向從O點(diǎn)連續(xù)射入電場(chǎng)中（O′為平行金屬板M、N間的中線）．M、N板間接有隨時(shí)間變化的電壓U_MN，兩板間電場(chǎng)可看做是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)．緊鄰金屬板右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，分界線為CD，S為屏幕．金屬板間距為d、長(zhǎng)度為l，磁場(chǎng)B的寬度為d．已知B=5×10^-3T，l=d=0.2m，每個(gè)粒子的初速V₀=1.0×1⁵m/s，比荷$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg，重力及粒子間相互作用忽略不計(jì)，在每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)可看做是恒定不變．求：

（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑．
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度
（3）帶電粒子打在屏幕上的區(qū)域?qū)挾龋?

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，水平方向?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)，豎直方向?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀龠\(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；
帶電粒子從平行板邊緣射出時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，獲得的動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解；
（3）經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，粒子速度向上偏轉(zhuǎn)或向下偏轉(zhuǎn)，畫(huà)出可能的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到軌道半徑，通過(guò)幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子不被加速，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{min}}$，解得：r_min=0.2m；
（2）設(shè)兩板間電壓為U₁時(shí)，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)，
則有：$\fracq7pdbsi{2}$=$\frac{1}{2}$$\frac{q{U}_{1}}{md}$$（\frac{l}{{v}_{0}}）^{2}$，解得：U₁=100V．
帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場(chǎng)時(shí)，射出速度最大，設(shè)最大速度為V_m
則有：$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv₀²=q$\frac{{U}_{1}}{2}$，解得：v_m=$\sqrt{2}$×10⁵m/s=1.4×10⁵m/s；
（3）t=0時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最小，打在熒光屏上最高點(diǎn)E，
O′E=r_min=0.2m，從N板右邊緣射出粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)中圓軌跡半徑最大，
由牛頓第二定律得：qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{m}}$，解得：r_m=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m，
因v_m=$\sqrt{2}$v₀，故tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，θ=45°，

O₂P=2$\sqrt{2}$×$\fracrlvjcdj{2}$=$\sqrt{2}$d=0.2$\sqrt{2}$m=r_m，
所以從P點(diǎn)射出粒子軌跡圓心O₂正好在
熒光屏上且O₂與M板在同一水平線上，0′O₂=$\fraciocq3gb{2}$=0.1m，
O′F=r_m-O₂O′=$\frac{\sqrt{2}}{5}$-0.1=0.18m，
帶電粒子打在熒光屏AB上寬度為：
EF=O′E+O′F=0.38m．
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑為0.2m；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為1.41×10⁵m/s；
（3）帶電粒子打在熒光屏AB上的寬度為0.38m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是畫(huà)出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的各種可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式后得出半徑，然后求出磁偏轉(zhuǎn)的距離表達(dá)式，并得出回旋角度的范圍，從而得到磁偏轉(zhuǎn)的范圍．