Question

9．如圖（a）所示，間距為L(zhǎng)、電阻不計(jì)的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上，在區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B_t的大小隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時(shí)刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖位置由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑，同時(shí)下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域Ⅰ內(nèi)的導(dǎo)軌上由靜止釋放．在ab棒運(yùn)動(dòng)到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動(dòng)，兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好．已知ab棒和cd棒的質(zhì)量為m、電阻為R，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長(zhǎng)度為2L，在t=t_x時(shí)刻（t_x未知）ab棒恰進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率和熱量；
（2）ab棒開(kāi)始下滑至EF的過(guò)程中流過(guò)導(dǎo)體棒cd的電量．

Answer 1

分析 （1）對(duì)cd棒，根據(jù)平衡求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)P=I²R求出當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率．a(chǎn)b棒進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于之前變化磁場(chǎng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由此求ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，從而求ab棒通過(guò)磁場(chǎng)Ⅱ的時(shí)間，即可求出熱量．
（2）由于通過(guò)cd棒的電流不變，由q=It求電量即可．

解答 解：（1）對(duì)cd棒，根據(jù)平衡條件得：
  F_安=BIL=mgsinθ
所以通過(guò)cd棒的電流大小為：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率為：P=I²R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
ab棒在到達(dá)區(qū)域Ⅱ前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ
cd棒始終靜止不動(dòng)，ab棒在到達(dá)區(qū)域Ⅱ前、后，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流保持不變，則ab棒在區(qū)域Ⅱ中一定做勻速直線運(yùn)動(dòng)．可得：
 $\frac{△Φ}{△t}$=BLv_t，即$\frac{B•2L•L}{{t}_{x}}$=BLgsinθ•t_x，
得：t_x=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
ab棒在區(qū)域Ⅱ中做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為：v_t=at_x=$\sqrt{2gLsinθ}$
通過(guò)磁場(chǎng)Ⅱ的時(shí)間為 t₂=$\frac{2L}{{v}_{t}}$=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
故當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的熱量為 Q=I²Rt₂=$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}{g}^{\frac{3}{2}}si{n}^{\frac{3}{2}θ}}{{B}^{2}{L}^{\frac{3}{2}}}$
（2）ab棒開(kāi)始下滑至EF的過(guò)程中流過(guò)導(dǎo)體棒cd的電量為 q=I（t_x+t₂）=$\frac{2m}{B}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$
答：
（1）當(dāng)ab棒在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)cd棒消耗的電功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}Rsi{n}^{2}θ}{{B}^{2}{L}^{2}}$，熱量是$\frac{\sqrt{2}{m}^{2}{g}^{\frac{3}{2}}si{n}^{\frac{3}{2}θ}}{{B}^{2}{L}^{\frac{3}{2}}}$；
（2）ab棒開(kāi)始下滑至EF的過(guò)程中流過(guò)導(dǎo)體棒cd的電量是$\frac{2m}{B}\sqrt{\frac{2gsinθ}{L}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分析兩段過(guò)程中電流的關(guān)系，弄清電路結(jié)構(gòu)，運(yùn)用平衡條件和電磁感應(yīng)的基本規(guī)律結(jié)合處理．