Question

6．有一條兩岸平直、水流均勻、流速恒定的大河．河寬d=100m，小明駕著小船渡河，去程時船在靜水中的速度是水流速度的2倍，回程時船在靜水中的速度是水流速度的$\frac{1}{2}$．
（1）若去程時渡河時間最短，則船到達對岸的位置離出發(fā)點的距離是多少？
（2）若回程時航行距離最短，則船回到本岸后，小明要沿河岸走多遠才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點．

Answer 1

分析 （1）將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，根據(jù)分運動和合運動具有等時性，求出垂直于河岸方向上的運動時間，即得出渡河的時間．從而得出小船到達對岸時向的位移．
（2）先求出小船到達對岸時向下游偏移的位移；
再根據(jù)運動的合成與分解，判斷出回程最短對應(yīng)的條件，然后求出運動的時間以及小船到達本岸時向下游偏移的位移，再由幾何關(guān)系即可求出要沿河岸走多遠才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點．

解答 解：（1）若渡河的時間最短，則船頭的方向與河岸的方向垂直，設(shè)水流的速度為v，去時的速度為v₁，則渡河的時間為：t=$\fracmd4a4qq{{v}_{1}}=\frac{t}{2v}$，
小船到達對岸時向下游偏移的位移為：x₁=vt=$\fracajufvpc{2v}•v=\fracbsbrwil{2}=\frac{100}{2}=50$m．
船到達對岸的位置離出發(fā)點的距離是：L=$\sqrt{xr95atw^{2}+{x}_{1}^{2}}$=$50\sqrt{5}$m
（2）若船的速度是水流速度的一半，則航程最短時，船頭的速度方向與合速度的方向垂直，設(shè)合速度的方向與河岸方向之間的夾角為θ，船的速度大小為v₂，則：
$sinθ=\frac{{v}_{2}}{v}=\frac{1}{2}$
所以：θ=30°
船回到本岸時，沿水流方向向下的位移滿足：
$\frac4gitrqp{{x}_{2}}=tanθ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以有：${x}_{2}=\sqrt{3}d=100\sqrt{3}$m
小明要沿河岸走回他當(dāng)初的出發(fā)點的距離為：
x=x₁+x₂=50+$100\sqrt{3}$=50（1+2$\sqrt{3}$）m
答：（1）若去程時渡河時間最短，則船到達對岸的位置離出發(fā)點的距離是50$\sqrt{5}$m；
（2）若回程時航行距離最短，則船回到本岸后，小明要沿河岸走50（1+2$\sqrt{3}$）m才能回到他當(dāng)初的出發(fā)點．

點評 該題考查小船渡河問題，解決本題的關(guān)鍵知道分運動與合運動具有等時性，以及知道各分運動具有獨立性，互不干擾．