Question

17．如圖所示，平行金屬板M、N的板長(zhǎng)和板間距離都是l，N極板接地．電子束從靜止開始，經(jīng)電壓U₀加速后，沿M、N的中線連續(xù)不斷地從左端射入兩板間．電子電量為e，質(zhì)量為m．不考慮重力和電子間的相互作用力．求：
（1）若M、N間不加電壓，電子從右端射出時(shí)的速度v；
（2）若M、N間的電壓也是U₀，電子從右端射出時(shí)的動(dòng)能E_k；
（3）若在M、N間加頻率較低的正弦交變電壓，使每個(gè)電子通過極板間的時(shí)間遠(yuǎn)小于交變電壓的周期，可以認(rèn)為這段時(shí)間內(nèi)兩板間電壓是恒定的．已知在交變電壓的每個(gè)周期內(nèi)，射入的電子束中恰好有三分之一打在M板上．那么該交變電壓的有效值U是多大？

Answer 1

分析 （1）若M、N間不加電壓，電子在MN間做勻速運(yùn)動(dòng)，從右端射出時(shí)的速度v等于加速電場(chǎng)加速獲得的速度，由動(dòng)能定理求出．
（2）若M、N間的電壓也是U₀，電子在MN間做類平拋運(yùn)動(dòng)，由分位移公式求出電子偏轉(zhuǎn)距離，由動(dòng)能定理求出電子從右端射出時(shí)的動(dòng)能E_k．
（3）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，求得電子剛好射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)偏轉(zhuǎn)電壓，因交變電壓的每個(gè)周期內(nèi)，射入的電子束恰好有三分之一打在M板上故可求周期，畫出交流電的圖象，根據(jù)正弦交流電的有效值與最大值之間的關(guān)系求有效值

解答 解：（1）電子在加速電場(chǎng)中加速過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
eU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$
若M、N間不加電壓，電子在MN間做勻速運(yùn)動(dòng)，從右端射出時(shí)的速度v為$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$．
（2）若M、N間的電壓也是U₀，電子在MN間做類平拋運(yùn)動(dòng)，加速度為：
 a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{ml}$
水平方向有 l=vt
豎直方向有 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
聯(lián)立解得 y=$\frac{1}{4}$l
對(duì)加速和偏轉(zhuǎn)的整個(gè)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
eU₀+e$\frac{{U}_{0}}{l}$y=E_k-0
解得電子從右端射出時(shí)的動(dòng)能 E_k=1.25eU₀．
（3）粒子經(jīng)過加速電場(chǎng)后獲得的速度為 v₀=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$
經(jīng)過偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)所需時(shí)間為 t=$\frac{l}{{v}_{0}}$
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)量為 y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{eU}{2ml}（\frac{l}{{v}_{0}}）^{2}$
電子剛好射出時(shí)偏轉(zhuǎn)量為 y=$\frac{l}{2}$，此時(shí)電壓為U，聯(lián)立解得 U=2U₀．
由對(duì)稱性知，有三分之一打在M板上，就有三分之一打在N板上，另外三分之一則從右側(cè)飛出電場(chǎng)．從下面的正弦交變電壓圖象可以看出在每$\frac{1}{4}$周期內(nèi)，都有$\frac{1}{3}$時(shí)間有電子射出．設(shè)圖中t₁時(shí)刻對(duì)應(yīng)的電壓是u，對(duì)應(yīng)的側(cè)移是$\frac{l}{2}$，由上式可得偏轉(zhuǎn)電壓 u=2U₀
因此 U_m=4U₀，所以 有效值U=$\frac{\sqrt{2}}{2}$U_m=2$\sqrt{2}$U₀．
答：
（1）若M、N間不加電壓，電子從右端射出時(shí)的速度v是$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）若M、N間的電壓也是U₀，電子從右端射出時(shí)的動(dòng)能E_k是1.25eU₀；
 （2）該交變電壓的有效值U是2$\sqrt{2}$U₀．

點(diǎn)評(píng) 本題中帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理求加速獲得的速度，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類平拋運(yùn)動(dòng)，是常規(guī)方法，要利用好正弦函數(shù)圖象，知道正弦交流電的有效值與最大值之間的關(guān)系．