Question

11．如圖所示，abcd構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域，在ac連線的右下方存在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向垂直于ad向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在△abc區(qū)域內(nèi)（含邊界）存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在△abc區(qū)域外、ac連線的左上方存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等．現(xiàn)有兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量為m、電荷量均為q的帶正電粒子同時(shí)從a點(diǎn)射出，粒子甲的初速度方向由a指向d，粒子乙的初速度方向由a指向c，當(dāng)乙經(jīng)b到達(dá)c點(diǎn)時(shí)，剛好與只在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的甲相遇．若空間為真空，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力，忽略粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)電、磁場(chǎng)產(chǎn)生的影響．求：
（1）甲的速率v_甲和甲從a到c經(jīng)歷的時(shí)間t；
（2）乙的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R．
（3）乙的速率v_乙和磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子軌道半徑；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式分析答題．

解答 解：（1）甲在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：a_y=$\frac{qE}{m}$，
水平方向：L=v_甲t，豎直方向：L=$\frac{1}{2}$a_yt²，
解得：t=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，v_甲=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，乙由a經(jīng)b到達(dá)c點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
其中x是每段圓弧軌跡對(duì)應(yīng)的弦線長(zhǎng)，設(shè)n為由a至b對(duì)應(yīng)的圓弧段數(shù)L=nx，
由幾何關(guān)系得：$\sqrt{2}$R=x，R=$\frac{L}{\sqrt{2}n}$  （n=1、2、3…）；
（3）設(shè)乙在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T(mén)
由牛頓第二定律得：qv_乙B=m$\frac{{v}_{乙}^{2}}{R}$，v_乙=$\frac{qBR}{m}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所有弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角總和為：θ₁=n$\frac{π}{2}$+n$\frac{3π}{2}$=2nπ，
由a經(jīng)b到達(dá)c點(diǎn)的總時(shí)間為t=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；B=nπ$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$（n=1、2、3…），v_乙=π$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所有弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角總和為θ₂=n$\frac{π}{2}$+n$\frac{π}{2}$=nπ，
由a經(jīng)b到達(dá)c點(diǎn)的總時(shí)間為t=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，B=nπ$\sqrt{\frac{mE}{2qL}}$（n=2、4、6…），v_乙=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
答：（1）甲的速率v_甲為：$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$，甲從a到c經(jīng)歷的時(shí)間t為：$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）乙的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R為：$\frac{L}{\sqrt{2}n}$  （n=1、2、3…）．
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，速率為：π$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度為：nπ$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$（n=1、2、3…）；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，速率為：$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度為：nπ$\sqrt{\frac{mE}{2qL}}$（n=2、4、6…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的前提，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題．