Question

2．如圖所示，某工廠需將質量m₁=100kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無初速度滑下，軌道半徑R=2.45m．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長度均為L=3m，質量均為m₂=60kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2．（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應滿足的條件；
（3）若μ₁=0.4，求貨物在A、B板上發(fā)生相對滑動的總時間．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒可以得出到達底端時的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力大小；
（2）貨物滑上木板A時，木板不動，說明此時貨物對木板的摩擦力小于或等于地面對木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時，木板B開始滑動，說明此時貨物對木板的摩擦力大于地面對木板B的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)μ₁的范圍．
（3）當μ₁=0.4時，由（2）可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動，貨物做的是勻減速直線運動，位移是木板的長度L，由勻變速直線運動的規(guī)律可以求得．

解答 解：（1）解：（1）設貨物滑到圓軌道末端時的速度為v₁，對貨物的下滑過程中根據(jù)機械能守恒定律得：
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
設貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得：
 ${F}_{N}-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$                   
解得：F_N=3000N                  
由牛頓第三定律得貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力為3000N；
（2）要使貨物在A上方時木板不滑動，應該有：
μ₁m₁g＜μ₂（m₁+2m₂）g
解得：μ₁＜0.44
要使貨物在B上方時木板滑動，應該有：
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g
解得：μ₁＞0.32
則μ₁應滿足的條件0.32＜μ₁＜0.44；
（3）μ₁=0.4，由上問可得，貨物在木板A上滑動時，木板不動，設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為a₁
由牛頓第二定律得：μ₁m₁g=m₁a₁
設貨物滑到木板A末端時的速度為v₂，由運動學公式得：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=-2{a}_{1}L$
解得v₂=5m/s
設在木板A上運動的時間為t₁，由運動學公式得：
v₂=v₁-a₁t₁
解得：t₁=0.5s；
接著滑到木板B上，由牛頓第二定律得
μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂
設在木板B上運動的時間為t₂，由運動學公式得：
v₃=v₂-a₁t₂=a₂t₂
解得t₂=$\frac{15}{16}s$
貨物在A、B板上發(fā)生相對滑動的總時間
$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{23}{16}s$
答：（1）貨物到達圓軌道末端時對軌道的壓力為3000N；
（2）若貨物滑上木板A時，木板不動，而滑上木板B時，木板B開始滑動，μ₁應滿足的條件0.32＜μ₁＜0.44；
（3）若μ₁=0.4，貨物在A、B板上發(fā)生相對滑動的總時間為$\frac{23}{16}s$．

點評 本題考查了機械能守恒、圓周運動和牛頓運動定律的應用，特別需要注意的是貨物在水平面上運動時木板的運動狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運到到不同的地方時木板的受力不一樣．