Question

2．正常人從距地面1.5m高處跳下，經(jīng)過(guò)腿部的緩沖，著地時(shí)一般來(lái)說(shuō)是安全的．如果人從高空跳下，需要使用降落傘才能安全著陸．經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)和理論研究表明，空氣對(duì)降落傘的阻力f與空氣密度ρ、降落傘的迎風(fēng)面積S、降落傘相對(duì)空氣速度v、阻力系數(shù)c有關(guān)（由傘的形狀、結(jié)構(gòu)、材料等決定），其表達(dá)式是f=$\frac{1}{2}$cρSv²，g=10m/s²．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題．
（1）在忽略空氣阻力的情況下，計(jì)算人從1.5m高處跳下著地時(shí)的速度大小（計(jì)算時(shí)人可視為質(zhì)點(diǎn)）；
（2）在某次高塔跳傘訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員使用的是有排氣孔的降落傘，其阻力系數(shù)c=0.90，空氣密度取ρ=1.25kg/m³．降落傘和運(yùn)動(dòng)員總質(zhì)量m=80kg，張開(kāi)降落傘后達(dá)到勻速下降時(shí)，要求人能安全著地，降落傘的迎風(fēng)面積S至少是多大？
（3）跳傘運(yùn)動(dòng)員和降落傘的總質(zhì)量m=80kg，從h=65m高的跳傘塔上跳下，在下落過(guò)程中，經(jīng)歷了張開(kāi)降落傘前自由下落、張開(kāi)降落傘后減速下落和勻速下落直至落地三個(gè)階段．如圖所示是通過(guò)固定在跳傘運(yùn)動(dòng)員身上的速度傳感器繪制出的從張開(kāi)降落傘開(kāi)始做減速運(yùn)動(dòng)至達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的v-t圖象．根據(jù)圖象估算運(yùn)動(dòng)員做減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，空氣阻力對(duì)降落傘做功得平均功率．

Answer 1

分析 （1）在忽略空氣阻力的情況下，人做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解人著地時(shí)的速度大��；
（2）由（1）求出人安全著陸的速度大小，張開(kāi)降落傘后達(dá)到勻速下降時(shí)，空氣阻力大小等于運(yùn)動(dòng)員的重力，根據(jù)平衡條件和f=$\frac{1}{2}$cρSv²結(jié)合可求出降落傘的迎風(fēng)面積S；
（3）由v-t圖讀出，降落傘張開(kāi)時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度大小和運(yùn)動(dòng)員收尾速度大小，由v-t圖線和時(shí)間軸所圍面積求得在0～3s時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落高度，由動(dòng)能定理求解空氣阻力對(duì)降落傘做的功．從而求出做功的平均功率．

解答 解：（1）設(shè)人從1.5m高處跳下著地時(shí)的安全速度大小為v₀，則有：${{v}_{0}}^{2}=2gh$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×1.5}$m/s=$\sqrt{30}$m/s≈5.5m/s．
（2）由（1）可知人安全著陸的速度大小為$\sqrt{30}$m/s，跳傘運(yùn)動(dòng)員在空中勻速下降時(shí)空氣阻力大小等于運(yùn)動(dòng)員的重力，則有：
mg=$\frac{1}{2}$cρSv²，
解得：S=$\frac{2mg}{cρ{v}^{2}}=\frac{2×800}{0.90×1.25×30}{m}^{2}$=47.4m²．
（3）設(shè)空氣阻力對(duì)降落傘做功為W_f，由v-t圖可知，降落傘張開(kāi)時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度大小v₁=20m/s，運(yùn)動(dòng)員收尾速度即勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度v₂=5.0m/s，設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgh+W_f=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：${W}_{f}=-mgh+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
由v-t圖線和時(shí)間軸所圍面積可知，在0～3s時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落高度為：h=25m
代入數(shù)據(jù)解得：W_f=-3.5×10⁴J，
則空氣阻力對(duì)降落傘做功得平均功率為：$\overline{P}=\frac{{W}_{f}}{t}=\frac{-3.5×1{0}^{4}}{3}W$=-1.17×10⁴W．
答：（1）人從1.5m高處跳下著地時(shí)的速度大小為5.5m/s；
（2）降落傘的迎風(fēng)面積S至少是47.4m²．
（3）空氣阻力對(duì)降落傘做功的平均功率為-1.17×10⁴W．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要有耐心讀題，獲取有效信息，其次，通過(guò)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程遵守的規(guī)律，實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用．