Question

12．萬有引力定律揭示了天體運行規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F₀．
（1）若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₁，求比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式，并就h=1.0%R的情形算出具體數(shù)值（計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式，并求出具體的數(shù)值．
在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式

解答 解：（1）在地球北極點不考慮地球自轉(zhuǎn)，則秤所稱得的重力則為其萬有引力，于是
F₀=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$   ①
F₁=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$   ②
由公式①②可以得出：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$=0.98．
（2）F₂=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-mω²R=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R  ③
①和③可得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$
答：（1）比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達式是$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$，并就h=1.0%R的情形大小是0.98；
（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達式是$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．