Question

14．我國自1970年4月24日發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星----“東方紅”1號以來，為了滿足通訊、導(dǎo)航、氣象預(yù)報和其它領(lǐng)域科學研究的不同需要，又發(fā)射了許多距離地面不同高度的人造地球衛(wèi)星．衛(wèi)星A為近地衛(wèi)星，衛(wèi)星B為地球同步衛(wèi)星，它們都繞地球做勻速圓周運動．已知地球半徑為R，衛(wèi)星A距地面高度可忽略不計，衛(wèi)星B距地面高度為h，不計衛(wèi)星間的相互作用力．求：
（1）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行速度大小之比；
（2）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行周期之比；
（3）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行的加速度大小之比．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解線速度表達式進行分析；
（2）衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期的一般表達式進行分析即可；
（3）衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解向心加速度的表達式進行分析即可．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，運行速度大小為v，由萬有引力定律和牛頓運動定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$…①
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行速度大小之比為：$\frac{v_A}{v_B}=\sqrt{\frac{R+h}{R}}$
（2）由萬有引力定律和牛頓運動定律，有：
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$…②
可知衛(wèi)星運行周期：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行周期之比：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+h）^{3}}}$
（3）由萬有引力定律和牛頓運動定律，衛(wèi)星運行的加速度大小為：
$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{GM}{{r}^{2}}$…③
衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行的加速度大小之比為：
$\frac{{a}_{A}}{{a}_{B}}=\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$
答：（1）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行速度大小之比為$\sqrt{\frac{R+h}{R}}$；
（2）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行周期之比為$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{{（R+h）}^{3}}}$；
（3）衛(wèi)星A與衛(wèi)星B運行的加速度大小之比為$\frac{{（R+h）}^{2}}{{R}^{2}}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確人造衛(wèi)星的動力學原理，找到向心力來源，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列式求解即可．