Question

16．一輕繩一端固定在0點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速度地釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過(guò)程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)能定理求出小球的速度，結(jié)合瞬時(shí)功率的公式求出小球重力功率的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)三角函數(shù)求出最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的角度．

解答 解：當(dāng)細(xì)線與水平方向的夾角為θ時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理得，mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gLsinθ}$，
則重力的瞬時(shí)功率P=mgvcosθ=$mg\sqrt{2gLsinθ}•cosθ$，
因?yàn)閟inθcos²θ=sinθ（1-sin²θ），令sinθ=x，則有y=x（1-x²）=x-x³，
對(duì)y求導(dǎo)，y′=1-3x²，
令1-3x²=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可知sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，P有最大值，即$θ=arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$．
答：當(dāng)細(xì)線與水平方向的夾角為$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，小球所受重力的瞬時(shí)功率有最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了瞬時(shí)功率和動(dòng)能定理的基本運(yùn)用，通過(guò)動(dòng)能定理和功率的公式求出瞬時(shí)功率的表達(dá)式是關(guān)鍵，本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．