Question

如圖所示，光滑水平面MN的左端M處有一彈射裝置P(P為左端固定，處于壓縮狀態(tài)且鎖定的輕質(zhì)彈簧，當(dāng)A與P碰撞時P立即解除鎖定)，右端N處與水平傳送帶恰平齊且很靠近，傳送帶沿逆時針方向以恒定速率υ = 5m/s 勻速轉(zhuǎn)動，水平部分長度L = 4m。放在水平面上的兩相同小物塊A、B（均視為質(zhì)點(diǎn)）間有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧，彈性勢能E_p = 4J，彈簧與A相連接，與B不連接，A、B與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ = 0.2，物塊質(zhì)量m_A = m_B = 1kg。現(xiàn)將A、B由靜止開始釋放，彈簧彈開，在B離開彈簧時，A未與P碰撞，B未滑上傳送帶。取g = 10m/s²。求：

（1）B滑上傳送帶后，向右運(yùn)動的最遠(yuǎn)處與N點(diǎn)間的距離sm；

（2）B從滑上傳送帶到返回到N端的時間t和這一過程中B與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱  能Q；

（3）B回到水平面后壓縮被彈射裝置P彈回的A上的彈簧，B與彈簧分離然后再滑上傳送帶。則P鎖定時具有的彈性勢能E滿足什么條件，才能使B與彈簧分離后不再與彈簧相碰。

Answer 1

（1）彈簧彈開的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒

        E_p = m_Aυ_A² + m_Bυ_B²                      （1分）

    由動量守恒有   m_Aυ_A - m_Bυ_B = 0                 （1分）

    聯(lián)立以上兩式解得   υ_A = 2m/s     υ_B = 2m/s     （1分）

    B滑上傳送帶做勻減速運(yùn)動，當(dāng)速度減為零時，向右運(yùn)動的距離最大。

    由動能定理得    - μm_Bgs_m = 0 - m_Bυ_B²           （1分）

    解得             s_m =  = 1m               （1分）

（2）物塊B先向右做勻減速運(yùn)動，直到速度減小到零，然后反方向做勻加速運(yùn)動，      回到皮帶左端時速度大小仍為υ_B = 2m/s                （1分）

由動量定理  - μm_Bgt = - m_Bυ_B - m_Bυ_B                   （1分）

解得         t =  = 2s                           （1分）

B向右勻減速運(yùn)動因摩擦而產(chǎn)生的熱能為

    Q₁ = μm_Bg(υ ·  + s_m)                             （1分）

B向左勻加速運(yùn)動因摩擦而產(chǎn)生的熱能為

    Q₂ = μm_Bg(υ ·  - s_m)                              （1分）

    Q = Q₁ + Q₂ = μm_Bgυt = 20J                       （1分）

（3）設(shè)彈射裝置P將A彈開時的速度為υ_A′，則

     E = m_Aυ_A′² - m_Aυ_A²                           （2分）

B離開彈簧時，AB速度互換，B的速度   υ_B′ = υ_A′       （2分）

B與彈簧分離后不再與彈簧相碰，則B滑出平臺Q端，由能量關(guān)系有

    m_Bυ_B′² > μm_B gL                                 （2分）

以上三式解得

     E > μm_A gL - m_Aυ_A²                             （2分）

代入數(shù)據(jù)解得     E> 6J                             （1分）