Question

16．某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀(guān)察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀(guān)察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星．試問(wèn)，春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落后12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀(guān)察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星？（已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，不考慮大氣對(duì)光的折射．）

Answer 1

分析 地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到的萬(wàn)有引力提供向心力，其向心力用周期表示，結(jié)合“黃金代換”求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，再利用幾何關(guān)系確定太陽(yáng)照不到同步衛(wèi)星的范圍，那么，即可求出看不到衛(wèi)星的時(shí)間

解答 解析   設(shè)所求時(shí)間為t，m、M分別為衛(wèi)星、地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地心的距離，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
春分時(shí)，太陽(yáng)光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E為赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀(guān)察者，O表示地心．由圖可看出，當(dāng)衛(wèi)星S轉(zhuǎn)到S′位置間，衛(wèi)星恰好處于地球的陰影區(qū)，衛(wèi)星無(wú)法反射太陽(yáng)光，觀(guān)察者將看不見(jiàn)衛(wèi)星．由圖有rsinθ=R   
t=$\frac{2θ}{2π}T$
對(duì)地面上質(zhì)量為m′的物體有$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$
由以上各式可知t=$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$
答：春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落后12小時(shí)內(nèi)有$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$時(shí)間該觀(guān)察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星

點(diǎn)評(píng) 解決天體問(wèn)題把握兩條思路：一是萬(wàn)有引力提供向心力，二是重力等于萬(wàn)有引力．針對(duì)本題關(guān)鍵還要分析好幾何關(guān)系來(lái)求解．