1.(人教A版,必修2.P17.第4題)
圖1是一個(gè)幾何體的三視圖,想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征,并說出它的名稱.
變式題1.如圖1-1是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)
(Ⅰ)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);
(Ⅱ)求這個(gè)幾何體的表面積及體積;
(Ⅲ)設(shè)異面直線與所成的角為,求.
解:(Ⅰ)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖1-2所示.
(Ⅱ)這個(gè)幾何體是直三棱柱.
由于底面的高為1,所以.
故所求全面積
.
這個(gè)幾何體的體積
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383822_1/image017.gif">,所以與所成的角是.
在中,,
故.
2.(人教A版,必修2,P20.例3)
如圖2,已知幾何體的三視圖,用斜二測畫法畫出它的直觀圖.
變式題2-1.如圖2-1.已知幾何體的三視圖(單位:cm).
(Ⅰ)畫出它的直觀圖(不要求寫畫法);
(Ⅱ)求這個(gè)幾何體的表面積和體積.
|
解(Ⅰ)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖2-2所示.
(Ⅱ)這個(gè)幾何體是一個(gè)簡單組合體,它的下部是一個(gè)圓柱(底面半徑為1cm,高為2cm),它的上部是一個(gè)圓錐(底面半徑為1cm,母線長為2cm,高為cm).
所以所求表面積,
所求體積.
變式題2-2.如圖2-3,已知幾何體的三視圖(單位:cm).
(Ⅰ)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);
(Ⅱ)求這個(gè)幾何體的表面積及體積;
(Ⅲ)設(shè)異面直線、所成角為,求.(理科考生)
解:(Ⅰ)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖2-4所示.
(Ⅱ)這個(gè)幾何體可看成是由正方體及直三棱柱的組合體.
由,,
可得.
故所求幾何體的全面積
所求幾何體的體積
(Ⅲ)由,且,可知,
故為異面直線、所成的角(或其補(bǔ)角).
由題設(shè)知,,
取中點(diǎn),則,且,
.
由余弦定理,得
.
3.(北師大版.必修2.P31.第4題)
如圖3,已知E,F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn),且,求證:四邊形是平行四邊形
變式題:如圖3-1.已知、分別是正方體的棱和棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)試判斷四邊形的形狀;
(Ⅱ)求證:平面平面.
解(Ⅰ)如圖3-2,取的中點(diǎn),連結(jié)、.
∵、分別是和的中點(diǎn),
∴,
在正方體中,有
, ∴,
∴四邊形是平行四邊形,
∴.
又、分別是、的中點(diǎn),
∴,
∴四邊形為平行四邊形,
∴.
故.
∴四邊形是平行四邊形.
又≌,
∴,
故四邊形為菱形.
(Ⅱ)連結(jié)、、. ∵四邊形為菱形,
∴.
在正方體中,有
,
∴平面.
又平面,
∴.
又,
∴平面.
又平面,
故平面平面
4.(人教A版,必修2,P74.例2)
如圖4,在正方體中,求直線與平面所成的角.
變式題:如圖4-1,已知正四棱柱中,底面邊長,側(cè)棱的長為4,過點(diǎn)作的的垂線交側(cè)棱于點(diǎn),交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求與平面所成的角的正弦值.
解:(Ⅰ)如圖4-2,以為原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∴.
設(shè),則.
∵,∴.
∴,∴,.
又,
∴且.
∴且.
∴且.∴平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一個(gè)法向量,又,
∴.
∴與平面所成角的正弦值為.
5.(人教A版,必修2,P87,第10題)
如圖5,已知平面,且是垂足,試判斷直線與的位置關(guān)系?并證明你的結(jié)論.
變式題5-1,如圖5,已知平面,且是垂足.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,試判斷平面與平面的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
變式題5-1,如圖5,已知平面,
且是垂足.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若,試判斷平面與平面的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
解(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383822_1/image142.gif">,所以.同理.
又,故平面.
(Ⅱ)設(shè)與平面的交點(diǎn)為,連結(jié)、.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383822_1/image137.gif">平面,所以,
所以是二面角的平面角.
又,所以,即.
在平面四邊形中,,
所以.
故平面平面.
變式題5-2.如圖5-1,已知直二面角,與平面、所成的角都為,.
為垂足,為垂足.
(Ⅰ)求直線與所成角的大小;
(Ⅱ)求四面體的體積.
解:(Ⅰ)如圖5-2,在平面內(nèi),作,連結(jié)、.則四邊形為平行四邊形,所以,即為直線與所成的角(或其補(bǔ)角).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383822_1/image173.gif">.
所以.同理.
又與平面、所成角為,所以,,所以,.
在中,,從而.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic20/38/383822_1/image183.gif">,且為平行四邊形,
所以.
又,所以.
故平面,從而.
在中,.
所以,
即直線與所成角的大小為.
(Ⅱ)在中,,所以.
三角形的面積,
故四面體的體積
.
6.(人教A版,必修2,P87,B組第1題)
如圖5,邊長為2的正方形ABCD中,
(1)點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),將分別沿折起,使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),求證:.
(2)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
變式題.如圖5-1,在矩形中,是的中點(diǎn),以為折痕將向上折起,使為,且平面平面.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
解(Ⅰ)在中,,
在中,,
∵,
∴.
∵平面平面,且交線為,
∴平面.
∵平面,
∴.
(Ⅱ)設(shè)與相交于點(diǎn),由(Ⅰ)知,
∵,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面,且交線為,
如圖6-2,作,垂足為,則平面,
連結(jié),則是直線與平面所成的角.
由平面幾何的知識(shí)可知,∴.
在中,,
在中,,可求得.
∴.
∴直線與平面所成的角的正弦值為.