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24、已知拋物線y2=2px(p>0),過動點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,且|AB|≤2p. (1)求a的取值范圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求△NAB面積的最大值.
解:(1)設(shè)直線l的方程為:y=x-a,代入拋物線方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2
又∵p>0,∴a≤-.
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點(diǎn) C(x,y),
由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
則有x==p.
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-(x-a-p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0)
點(diǎn)N到AB的距離為
從而S△NAB=
當(dāng)a有最大值-時,S有最大值為p2.