1、已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且=1,x+y的最小值為__________.
解析:令=cos2θ,=sin2θ,則x=asec2θ,y=bcsc2θ,∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2.答案:a+b+2
2、設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,則ad與bc的大小關(guān)系是__________.
解析:由0≤|a-d|<|b-c|(a-d)2<(b-c)2(a+b)2-4ad<(b+c)2-4bc
∵a+d=b+c,∴-4ad<-4bc,故ad>bc.答案:ad>bc
3、已知f(x)、g(x)都是奇函數(shù),f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(,),
則f(x).g(x)>0的解集是__________.
解析:由已知b>a2∵f(x),g(x)均為奇函數(shù),∴f(x)<0的解集是(-b,-a2),g(x)<0的解集是(-).由f(x).g(x)>0可得:
∴x∈(a2,)∪(-,-a2)答案:(a2,)∪(-,-a2)
4、已知關(guān)于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解,則a的取值范圍是__________.
原方程可化為cos2x-2cosx-a-1=0,令t=cosx,得t2-2t-a-1=0,原問題轉(zhuǎn)化為方程t2-2t-a-1=0在[-1,1]上至少有一個實根.令f(t)=t2-2t-a-1,對稱軸t=1,畫圖象分析可得解得a∈[-2,2].答案:[-2,2]
5、已知函數(shù)f(x)= (b<0)的值域是[1,3],則b= c= 。
解:設(shè)y=,則(y-2)x2-bx+y-c=0 ①
∵x∈R,∴①的判別式Δ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0,即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由條件知,不等式②的解集是[1,3]∴1,3是方程4y2-4(2+c)y+8c+b2=0的兩根
∴c=2,b=-2,b=2(舍)
6、直線2x-y-4=0上有一點P,它與兩定點A(4,-1),B(3,4)的距離之差最大,
則P點坐標是_________.
解析:找A關(guān)于l的對稱點A′,A′B與直線l的交點即為所求的P點.答案:P(5,6)
7、自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與
圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,則光線l所在直線方程為_________.
解析:光線l所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切.
答案:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
8、函數(shù)f(θ)=的最大值為_________,最小值為_________.
解析:f(θ)=表示兩點(cosθ,sinθ)與(2,1)連線的斜率.答案: 0
9、設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對一切滿足|m|≤2的值均成立,則x的范圍為_________.
原不等式變?yōu)?x2-1)m+(1-2x)<0,構(gòu)造線段f(m)=(x2-1)m+1-2x,-2≤m≤2,
則f(-2)<0,且f(2)<0.答案:
10、已知橢圓的焦點是F1、F2,P是橢圓上的一個動點,如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是 。
解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.
11、設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點,則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為 。
解析:設(shè)交點P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)
∵A1、P1、P共線,∴∵A2、P2、P共線,∴
解得x0=
12、△ABC中,A為動點,B、C為定點,B(-,0),C(,0),且滿足條件sinC-sinB=sinA,則動點A的軌跡方程為_________.
解析:由sinC-sinB=sinA,得c-b=a,
∴應(yīng)為雙曲線一支,且實軸長為,故方程為.
答案:
13、中心在原點,焦點在坐標為(0,±5)的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點的橫坐標為,則橢圓方程為( )
解析:由題意,可設(shè)橢圓方程為: =1,且a2=50+b2, 即方程為=1.
將直線3x-y-2=0代入,整理成關(guān)于x的二次方程.
由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案:C
14、拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點,且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
解析:解方程組,得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=,x1x2=-,x3=-,
代入驗證即可.答案:B
15、已知A、B、C三點在曲線y=上,其橫坐標依次為1,m,4(1<m<4),當△ABC的面積最大時,m等于( )
A.3 B. C. D.
解析:由題意知A(1,1),B(m,),C(4,2).直線AC所在方程為x-3y+2=0,
點B到該直線的距離為d=.
∵m∈(1,4),∴當時,S△ABC有最大值,此時m=.答案:B
16、直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2-4y2=3的焦點作橢圓的焦點,那么具有最短長軸的橢圓方程為_________.
解析:所求橢圓的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小,只需
在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小,利用對稱性可解.答案: =1
17、雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,
|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列,則b2=_________.
解析:設(shè)F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),
即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|.|PF2|,
依雙曲線定義,有|PF1|-|PF2|=4,依已知條件有|PF1|.|PF2|=|F1F2|2=4c2
∴16+8c2<50+2c2,∴c2<,又∵c2=4+b2<,∴b2<,∴b2=1.答案:1
18、正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上,C、D兩點在拋物線y2=x上,
則正方形ABCD的面積為_________.
解析:設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長,
利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離,求出b的值,
再代入求出|CD|的長. 答案:18或50
19、A是橢圓長軸的一個端點,O是橢圓的中心,若橢圓上存在一點P,使
∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________.
解析:設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0),以OA為直徑的圓:x2-ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2-ax+b2=0.即e2x2-ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,
由韋達定理x2=-a,0<x2<a,即0<-a<a<e<1.答案:<e<1
20、已知拋物線y=x2-1上一定點B(-1,0)和兩個動點P、Q,當P在拋物線上運動時,
BP⊥PQ,則Q點的橫坐標的取值范圍是_________.
解析:設(shè)P(t,t2-1),Q(s,s2-1)∵BP⊥PQ,∴=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0∵t∈R,∴必須有Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0.即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.
21、設(shè)f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=,問是否存在a、b、c∈R,使得不等式:
x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數(shù)x都成立,證明你的結(jié)論.
解:由f(1)=得a+b+c=,令x2+=2x2+2x+x=-1,由f(x)≤2x2+2x+推得
f(-1)≤.由f(x)≥x2+推得f(-1)≥,∴f(-1)=,∴a-b+c=,
故2(a+c)=5,a+c=且b=1,∴f(x)=ax2+x+(-a).依題意:ax2+x+(-a)≥x2+
對一切x∈R成立,∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0,得(2a-3)2≤0,
∴f(x)=x2+x+1易驗證:x2+x+1≤2x2+2x+對x∈R都成立.
∴存在實數(shù)a=,b=1,c=1,使得不等式:x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切x∈R都成立.
22、已知A、B、C是直線l上的三點,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直線l于點A,又過B、C作⊙O′異于l的兩切線,設(shè)這兩切線交于點P,求點P的軌跡方程.
解:設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切⊙O′于D、E兩點,兩切線交于點P.由切線的性質(zhì)知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由橢圓定義知,點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓,以l所在的直線為x軸,以BC的中點為原點,建立坐標系,可求得動點P的軌跡方程為=1(y≠0)
23、已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=,橢圓C2的方程為=1(a>b>0),C2的離心率為,如果C1與C2相交于A、B兩點,且線段AB恰為圓C1的直徑,求直線AB的方程和橢圓C2的方程.
解:由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,
又=1,兩式相減,得=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.化簡得=-1,
故直線AB的方程為y=-x+3,代入橢圓方程得3x2-12x+18-2b2=0.
有Δ=24b2-72>0,又|AB|=,
得,解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.
24、已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,且|AB|≤2p. (1)求a的取值范圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.
解:(1)設(shè)直線l的方程為:y=x-a,代入拋物線方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2
又∵p>0,∴a≤-.
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點 C(x,y),
由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
則有x==p.
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-(x-a-p),從而N點坐標為(a+2p,0)
點N到AB的距離為
從而S△NAB=
當a有最大值-時,S有最大值為p2.
25、已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點,且都以點A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱. (1)求雙曲線C的方程.
(2)設(shè)直線l過點A,斜率為k,當0<k<1時,雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為,試求k的值及此時B點的坐標.
解:(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=±1.
即漸近線為y=±x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為(0,).
∴a==b,所求雙曲線C的方程為x2-y2=2.
(2)設(shè)直線l:y=k(x-)(0<k<1,依題意B點在平行的直線l′上,
且l與l′間的距離為.
設(shè)直線l′:y=kx+m,應(yīng)有,化簡得m2+2km=2. ②
把l′代入雙曲線方程得(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0,
由Δ=4m2k2-4(k2-1)(m2-2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③兩式相減得k=m,代入③得m2=,解設(shè)m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).