27.已知AB是拋物線的任一弦,F(xiàn)為拋物線的焦點,l為準線.m是過點A且以向量為方向向量的直線.
(1)若過點A的拋物線的切線與y軸相交于點C,求證:|AF|=|CF|;
(2)若異于原點),直線OB與m相交于點P,求點P的軌跡方程;
(3)若AB過焦點F,分別過A,B的拋物線兩切線相交于點T,求證:且T在直線l上.
解:(1)設A(,因為導數(shù),
則直線AC的方程:
由拋物線定義知,|AF|=+,又|CF|=-(-)=+,故|AF|=|CF|.
(2)設
由
得.
①
直線OB方程:
②
直線m的方程:, ③
由①②③得y=-p,故點P的軌跡方程為y=-p(x≠0).
(3)設則
因為AB是焦點弦,設AB的方程為:
得
由(1)知直線AT方程:
同理直線BT方程:
所以直線AB方程:,
又因為AB過焦點,,故T在準線上.