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27.已知AB是拋物線的任一弦,F(xiàn)為拋物線的焦點,l為準(zhǔn)線.m是過點A且以向量為方向向量的直線.
(1)若過點A的拋物線的切線與y軸相交于點C,求證:|AF|=|CF|;
(2)若異于原點),直線OB與m相交于點P,求點P的軌跡方程;
(3)若AB過焦點F,分別過A,B的拋物線兩切線相交于點T,求證:且T在直線l上.
解:(1)設(shè)A(,因為導(dǎo)數(shù),
則直線AC的方程:
由拋物線定義知,|AF|=+,又|CF|=-(-)=+,故|AF|=|CF|.
(2)設(shè)
由
得. ①
直線OB方程: ②
直線m的方程:, ③
由①②③得y=-p,故點P的軌跡方程為y=-p(x≠0).
(3)設(shè)則
因為AB是焦點弦,設(shè)AB的方程為:
得
由(1)知直線AT方程:
同理直線BT方程:
所以直線AB方程:,
又因為AB過焦點,,故T在準(zhǔn)線上.