1.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,,則△ABC的形狀為( B )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
2.“”是“”的 條件。(答:充分非必要條件)
3.已知平面上三點A、B、C滿足的值等于 ( C )
A.25 B.24 C.-25 D.-24
4.函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是,則=________(答:)
5、已知兩圓方程分別為:,,則兩圓的公切線方程為(A)
A、 B、 C、 D、
6、已知動點滿足,為坐標原點,則的取值范圍是_______
16、對正整數(shù),設(shè)拋物線,過任作直線交拋物線于,兩點,則數(shù)列的前項和為__-n(n+1)________
7.正實數(shù)x1,x2及函數(shù),f (x)滿足,則的最小值為 ( B )
A.4 B. C.2 D.
8.已知函數(shù),則“b > 2a”是“f (-2) < 0”的( A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
9.橢圓與直線交于A、B兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為的值為 ( A )
A. B. C. D.
10.已知:是直線,是平面,給出下列四個命題:(1)若垂直于內(nèi)的兩條直線,則;(2)若,則平行于內(nèi)的所有直線;(3)若且則;(4)若且則;(5)若且則。其中正確命題的個數(shù)是 ( B )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
11.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)
有一動點P到平面A1C1的距離是直線BC的距離的2
倍,點M是棱BB1的中點,則動點P所在曲線的大致
|
12.一次研究性課堂上,老師給出函數(shù),三位同學甲、乙、丙在研究此函數(shù)時分別給出命題:
甲:函數(shù)f (x)的值域為(-1,1);
乙:若x1≠x2,則一定有f (x1)≠f (x2);
丙:若規(guī)定對任意恒成立.
你認為上述三個命題中正確的個數(shù)有( D )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
13.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則的取值范圍是____(答:));
14. 在△ABC中,E、F分別為AB、AC上的點,若=m,=n,則
= mn. 拓展到空間:在三棱錐S-ABC中,D、E、F分別是側(cè)棱SA、SB、SC上的點,若= m,=n,= p,則= .
15.已知雙曲線的右焦點為F,右準線與一條漸近線交于點A,
△OAF的面積為(O為坐標原點),則雙曲線的兩條漸近線的夾角為 60°
16.直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點,如果函數(shù)f (x)的圖象恰好通過k個格點,則稱函數(shù)f (x)為k階格點函數(shù).下列函數(shù):①;②;③;④其中是一階格點函數(shù)的有 ①②④ .(填上所有滿足題意的序號)
17.已知△ABC,若對任意t∈R,≥,則C
A.∠A=900 B.∠B=900 C.∠C=900 D.∠A=∠B=∠C=600
18.等差數(shù)列的前項和為,公差. 若存在正整數(shù),使得,則當()時,有(填“>”、“<”、“=”).
(6)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S12>0,S13<0,則 ,,…, 中最大的是 B
(A) (B) (C) (D)
19.定義在N*上的函數(shù)滿足:f(0) = 2,f(1) = 3,
且.
(Ⅰ)求f(n)(nÎN*);
(Ⅱ)求.
(Ⅰ)由題意:,所以有:,又,所以,即,故.
(Ⅱ).
20.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=-13,
(Ⅰ)設(shè)的通項公式;
(Ⅱ)求n為何值時,最小(不需要求的最小值)
解:(I)
即數(shù)列{bn}的通項公式為
(Ⅱ)若an最小,則
注意n是正整數(shù),解得8≤n≤9
∴當n=8或n=9時,an的值相等并最小
21.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱,且f '(1)=0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}滿足條件:a1∈(1,2),an+1=f (an)
求證:(a1- a2).(a3-1)+(a2- a3).(a4-1)+…+(an- an+1).(an+2-1)<1
解:(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱,所以
x3+ax2+bx+c+(2-x)3+a(2-x)2+b(2-x)+c=2
對一切實數(shù)x恒成立.得:a=-3,b+c=3,
對由f '(1)=0,得b=3,c=0,
故所求的表達式為:f(x)= x3-3x2+3x.
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3-3 an 2+3 an (1)
令bn=an-1,0<bn<1,由代入(1)得:bn+1=,bn=,
∴ 1>bn >bn+1 >0
(a1-a2).(a3-1)+(a2-a3).(a4-1)+…+(an-an+1).(an+2-1)=
<=b1-bn+1<b1<1?! ?
22.設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)如果,點P曲線上一個動點,求以P為切點的切線其斜率取最小值時的切線方程;
(Ⅱ)若時,恒成立,求的取值范圍.
.解(Ⅰ)設(shè)切線斜率為則當時最小值為.
所以切線方程為即
(Ⅱ)由>0 <0得.
函數(shù)在為增函數(shù),在減函數(shù)
(1),無解; (2) 無解;
(3),解得.綜上所述 .
23.已知O為坐標原點,點E、F的坐標分別為(-1,0)、(1,0),動點A、M、N滿足(),,,.
(Ⅰ)求點M的軌跡W的方程;
(Ⅱ)點在軌跡W上,直線PF交軌跡W于點Q,且,若,求實數(shù)的范圍.
解:(Ⅰ)∵,,
∴ MN垂直平分AF.
又,∴ 點M在AE上,
∴ ,,
∴ ,
∴ 點M的軌跡W是以E、F為焦點的橢圓,且半長軸,半焦距,
∴ .
∴ 點M的軌跡W的方程為().
(Ⅱ)設(shè)
∵ ,,
∴ ∴
由點P、Q均在橢圓W上,
∴
消去并整理,得,
由及,解得.
24.已知函數(shù)的定義域為,導(dǎo)數(shù)滿足0<<2 且,常數(shù)為方程的實數(shù)根,常數(shù)為方程的實數(shù)根.
(Ⅰ)若對任意,存在,使等式成立.試問:方程有幾個實數(shù)根;
(Ⅱ)求證:當時,總有成立;
(Ⅲ)對任意,若滿足,求證:。
21、(I)假設(shè)方程有異于的實根m,即.則有
成立 .
因為,所以必有,但這與≠1矛盾,
因此方程不存在異于c1的實數(shù)根.
∴方程只有一個實數(shù)根.
(II)令,
∴函數(shù)為減函數(shù).
又,
∴當時,,即成立.
(III)不妨設(shè),為增函數(shù),
即.又,∴函數(shù)為減函數(shù)
即.
,
即.
,
.
25、平面直角坐標系中,已知、、,滿足向量
與向量共線,且點都在斜率為6的同一條直線上.
(1)試用與n來表示;
(2)設(shè),且12<a≤15,求數(shù)列中的最小值的項.
解:(1)點都在斜率為6的同一條直線上,
,即,
于是數(shù)列是等差數(shù)列,故.
,,又與共線,
.
當n=1時,上式也成立.
所以an.
(2)把代入上式,
得
12<a≤15,,
當n=4時,取最小值, 最小值為a4=18-2a.
26.已知二次函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切.
(1)求f(x)的解析式
(2)若函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù),求k的取值范圍.
(1)∵f(x+1)為偶函數(shù),
∴
恒成立,
即(2a+b)x=0恒成立,
∴2a+b=0
∴b=-2a
∴
∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切,
∴二次方程有兩相等實數(shù)根,
∴
(2)∵
故k的取值范圍為
27.已知AB是拋物線的任一弦,F(xiàn)為拋物線的焦點,l為準線.m是過點A且以向量為方向向量的直線.
(1)若過點A的拋物線的切線與y軸相交于點C,求證:|AF|=|CF|;
(2)若異于原點),直線OB與m相交于點P,求點P的軌跡方程;
(3)若AB過焦點F,分別過A,B的拋物線兩切線相交于點T,求證:且T在直線l上.
解:(1)設(shè)A(,因為導(dǎo)數(shù),
則直線AC的方程:
由拋物線定義知,|AF|=+,又|CF|=-(-)=+,故|AF|=|CF|.
(2)設(shè)
由
得. ①
直線OB方程: ②
直線m的方程:, ③
由①②③得y=-p,故點P的軌跡方程為y=-p(x≠0).
(3)設(shè)則
因為AB是焦點弦,設(shè)AB的方程為:
得
由(1)知直線AT方程:
同理直線BT方程:
所以直線AB方程:,
又因為AB過焦點,,故T在準線上.
28. 如圖,已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C,動點P到直線l的距離為d,若
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)若軌跡上的點P與同一平面上的點G、M分別滿足
,
求以P、G、D為項點的三角形的面積.
解:(Ⅰ)
∴點P的軌跡是D為焦點,l為相應(yīng)準線的橢圓.
由
以CD所在直線為x軸,以CD與⊙D的另一個交點O為坐標原點建立直角坐標系.
∴所求點P的軌跡方程為
(Ⅱ)G為橢圓的左焦點.
又
由題意,(否則P、G、M、D四點共線與已經(jīng)矛盾)
又∵點P在橢圓上,
又
29.設(shè)無窮數(shù)列{an}具有以下性質(zhì):①a1=1;②當
(Ⅰ)請給出一個具有這種性質(zhì)的無窮數(shù)列,使得不等式 對于任意的都成立,并對你給出的結(jié)果進行驗證(或證明);
(Ⅱ)若,其中,且記數(shù)列{bn}的前n項和Bn,證明:
解:(Ⅰ)令,
則無窮數(shù)列{an}可由a1 = 1,給出.
顯然,該數(shù)列滿足,且
(Ⅱ)
又
30、已知函數(shù)為偶函數(shù),且其
圖像上相鄰的一個最高點和最低點之間的距離為。
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若 的值。
31.設(shè)分別為的重心和外心,,且。
(I)求點的軌跡的方程;
(II)若是過點且垂直于軸的直線,是否存在直線,使得與曲線交于兩個不同的點,且恰被平分?若存在,求出的斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由。
13.解:(I)設(shè),則,因為 ,可得;又由,
可得點的軌跡的方程為。
(II)假設(shè)存在直線,代入并整理得
,
設(shè),則 又
,解得或
特別地,若,代入得,,此方程無解,即。
綜上,的斜率的取值范圍是或。
18.已知△ABC中,三個內(nèi)角是A、B、C的對邊分別是a、b、c,其中c=10,且
(I)求證:△ABC是直角三角形;
(II)設(shè)圓O過A、B、C三點,點P位于劣弧AC上,∠PAB=60°,.求四邊形ABCP的面積.
18.解:(Ⅰ)證明:根據(jù)正弦定理得,
整理為,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A+2B= ∴.
∴舍去A=B. ∴即.
故△ABC是直角三角形.
(Ⅱ)解:由(1)可得:a=6,b=8.
在Rt△ACB中,
∴
=
=
連結(jié)PB,在Rt△APB中,AP=AB.cos∠PAB=5.
∴四邊形ABCP的面積
=24+=18+.
32.已知三次函數(shù)在和時取極值,且.
(1) 求函數(shù)的表達式;
(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域為,試求、應(yīng)滿足的條件.
解:(1) ,
由題意得,是的兩個根,
解得,.
再由可得.
∴.
(2) ,
當時,;當時,; 當時,;當時,; 當時,.
∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù); 在區(qū)間上是減函數(shù);在區(qū)間上是增函數(shù). 函數(shù)的極大值是,極小值是.
(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位,向上平移4個單位得到的,
所以,函數(shù)在區(qū)間上的值域為().
而,∴,即.
于是,函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
令得或.
由的單調(diào)性知,,即.
綜上所述,、應(yīng)滿足的條件是:,且.
易錯問題
1.定義在上的偶函數(shù)滿足,且在上是減函數(shù),若是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系為____ (答:);
2.函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有____個(答:2)
3.如若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的對稱軸方程是__ (答:).
4.(1)設(shè)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的取值范圍是____________.(答:)。
(2)設(shè)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則的取值范圍是____________.(答:)。
5.已知函數(shù)過點作曲線的切線,求此切線的方程(答:或)。
6.已知函數(shù)在區(qū)間[-1,2 ]上是減函數(shù),那么b+c有最__值__答:大,)
7.函數(shù)處有極小值10,則a+b的值為____(答:-7)
8.已知,,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是______(答:或且);
9.若點是的外心,且,則的內(nèi)角為____(答:);
10.設(shè)集合,,,則_____(答:)
11.,如果,求的取值。(答:a≤0)
已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個實數(shù),使,求實數(shù)的取值范圍?!?答:)
12.已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一定點,動點P滿足,,則動點P的軌跡一定通過△ABC的 (D)
A.內(nèi)心 B.垂心 C.外心 D.重心
13.如圖,從雙曲線的左焦
點F引圓的切線,切點為T,延長FT交
雙曲線右支于P點,若M為線段FP的中點,O為坐標
原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為 (B )
A.|MO|-|MT| > b-a
B.|MO|-|MT| = b-a
C.|MO|-|MT| < b-a
D.不確定
14.如圖,所在的平面和四邊形所在的平面垂直,且, , ,,,則點在平面內(nèi)的軌跡是 (A )
A.圓的一部分
B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分
D.拋物線的一部分
15若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(C )
(A) (B) (C) (D)
16.定義在R上的函數(shù),它同時滿足具有下述性質(zhì):
①對任何
②對任何則 0 .
17.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,,則a4與a10的等比中項為 ( )
A. B. C. D.
18.已知數(shù)列的前項和為非零常數(shù)),則數(shù)列為( )
(A)等差數(shù)列 (B)等比數(shù)列
(C)既不是等差數(shù)列,又不是等比數(shù)列 (D)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
19.已知全集U=R,集合,則
A. B.
C.{(1,-2)} D.( )
20. 已知橢圓的左右焦點分別為F1與F2,點P在直線l:上,
當取最大值時,點P的坐標為 (-10,-4)或(-2,4) 。
21.橢圓的左右焦點分別為F1、F2,點P在橢圓上,若P,F1、F2是一個直角三角形的三個頂點,則P到X軸距離為 1或 .
22.過軸上一點,向圓作切線,切點分別為,則面積的最大值為 。
已知向量是兩個不共線的非零向量, 向量滿足.則向量用向量一定可以表示為 (C)
A. 且. B.
C. D. , 或
(5)若數(shù)列中,,且對任意的正整數(shù)、都有,則
(A) (B) (C) (D) ( C)
16.已知x∈N*,f(x)= ,其值域設(shè)為D,給出下列數(shù)值:-26,-1,9,14,27,65,則其中屬于集合D的元素 ___14,65 _ _.(寫出所有可能的數(shù)值)
23、如圖,垂直正方形所在的平面,,動點在線段上,則二面角的取值范圍是
A、 B、 C、 D、
24.在△OAB(O為原點)中,,若,則S△AOB的值為 ( )
A. B. C. D.
25.若y=3|x|(x∈[a,b])的值域為[1,9],則a2+b2-2a的取值范圍是( )
A.[2,4] B.[4,16] C.[2,2] D.[4,12]
26.在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,
則等于( C )
(A) (B) (C) (D)
27、點P在平面上作勻速直線運動,速度向量=(4,-3)(即點P的運動方向與相同,且每秒移動的距離為||個單位.設(shè)開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點P的坐標為( D )
(A)(-2,4) (B)(-30,25) (C)(5,-10) (D)(10,-5)
28、已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的點,則點P到AC、BC
的距離乘積的最大值是 3 。
29、若函數(shù)內(nèi)為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍(A )
A. B. C. D.
30、如圖,平面內(nèi)的兩條相交直線和將該平面分割成四個部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括邊界). 若,且點落在第Ⅲ部分,則實數(shù)滿足( B )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
31.已知雙曲線的焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線上且|PF1| =4|PF2|,則雙曲線離心率的最大值為( B )
A. B. C.2 D.
8、某班有48名學生,某次數(shù)學考試,算術(shù)平均分為70分,標準差為s,后來發(fā)現(xiàn)成績記錄有誤,某甲得80分卻誤記為50分,某乙得70分卻誤記為100分,更正后計算得標準差為s1,則s1和s之間的大小關(guān)系為 …………………………………………………(D )
(A) s1>s (B) s1=s (C) s+5<s1 (D) s>s1
15.在ABC中,若:= = ,則COSA等于___________.
4、已知等差數(shù)列{an}的首項a1=120,d=-4,記Sn= a1+a2+…+an,若Sn≤an(n>1),則n最小值為………………………………………………………………………………(B )
(A)60 (B)62 (C)63 (D)70
7.二元函數(shù)定義域為,則函數(shù)的定義域所表示的平面區(qū)域是(B)
9、一條走廊寬 2 m, 長 8 m, 用 6 種顏色的 11 m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有 ( D)
(A)個 (B) 個 C. 個 (D) 個
(18)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(Ⅰ)若Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列,證明am,am+2,am+1成等差數(shù)列;
(Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題,判斷它的真?zhèn)?,并給出證明.
證 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2.
由已知2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1),
∴am+2=-am+1,即數(shù)列{an}的公比q=-.
∴am+1=-am,am+2=am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1成等差數(shù)列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是:若am,am+2,am+1成等差數(shù)列,則Sm,Sm+2,Sm+1成等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,∵am+1=amq,am+2=amq2.
由題設(shè),2am+2=am+am+1,即2amq2=am+amq,即2q2-q-1=0,∴q=1或q=-.
當q=1時,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1不成等差數(shù)列.
逆命題為假.
19. (12分)設(shè)某物體一天中的溫度T是時間t的函數(shù),,其中溫度的單位是,時間的單位是小時。t=0表示12:00, t取正值表示12:00點以后。若測得該物體在8:00的溫度為8,12:00的溫度為60,13:00的溫度為58,且已知該物體的溫度在8:00和16:00有相同的變化率。
(1)寫出該物體的溫度T關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該物體在10:00到14:00這段時間中(包括10:00,14:00)何時溫度最高?并求出最高溫度。
(1)依題意得
解得:a=1,b=0,c=-3,d=60 故T(t)=t3-3t+60
(2)=0,得:
比較T(-2),T(-1),T(1),T(2)知,在10:0014:00這段時間中,該物體在11:00和14:00的溫度最高,且最高溫度為62.