山東省鄆城實驗中學(xué)2008―2009學(xué)年第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題

 

一、選擇題（每題5分，共60分）

1．若，則是方程表示雙曲線的     條件                 （    ）

       A．充分不必要       B．必要不充分       C．充要                 D．既充分也不必要

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2．給出下面的三個命題：①函數(shù)的最小正周期是②函數(shù)

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在區(qū)間上單調(diào)遞增③是函數(shù)的圖象的一條對稱軸。其中正確的命題個數(shù)                                                                                    （    ）

A．0                  B．1                   C．2                   D．3

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3．在等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前2008項的和是

                                                                                                                              （    ）

A．18072            B．3012             C．9036              D．12048

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4．已知滿足約束條件，則的最小值是                          （    ）

A．5                 B．－6               C．10                D．－10

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5．設(shè)A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為

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，則直線PB 的方程是                                                                （    ）

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A．                                   B．

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C．                                 D．

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6．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩條漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線焦點                                              （    ）

       A．在x軸上                                           B．在y軸上          

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       C．當(dāng)時，在x軸上                       D．當(dāng)時，在y軸上

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7．（理）在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有                       （    ）

A．3項              B．4項               C．5項               D．6項

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(文)已知對，直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是                                                （    ）

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A． 　         B．　            C．     D．

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8．定義一種運算，令，且，則函數(shù)的最大值是                                                                    （    ）

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A．                B．1                 C．              D．

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9．已知、是拋物線(＞0)上異于原點的兩點，則“?=0”是“直線恒過定點()”的                                                                    （    ）

    A．充分非必要條件                                 B．充要條件

    C．必要非充分條件                                 D．非充分非必要條件

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10．正方體中，、、分別是、、的中點．那么，正

2,4,6

       A．三角形              B．四邊形               C．五邊形               D．六邊形

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11．（理）用4種不同的顏色為正方體的六個面著色，要求相鄰兩個面顏色不相同，則不同的著色方法有       種。                                                                 （    ）

A．24               B．48             C．72                D．96

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(文) 已知，則在數(shù)列{an}的前50項中最小項和最大項分別是（   ）

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A．，           B．，          C．，            D．，         

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12．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是                      （    ）

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       A．                B．                 C．            D．

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二、填空題（每題4分，共16分）

13．=                       。

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14．在1200的二面角-l-β內(nèi)有一點P，P在平面、β內(nèi)的射影A、B分別落在半平面、β內(nèi)，且PA=3，PB=4，則P到l的距離為          

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15．已知F1、F2是橢圓=1(5＜a＜10＝的兩個焦點，B是短軸的一個端點，則△F1BF2的面積的最大值是                    

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16．設(shè)函數(shù)，給出下列4個命題：

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①時，只有一個實數(shù)根；  ②時，是奇函數(shù)；

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③的圖象關(guān)于點對稱；    ④方程至多有2個實數(shù)根

上述命題中的所有正確命題的序號是          .

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三、解答題（17―21題每小題12分，22題14分，共74分）

17．已知中，角A，B，C，所對的邊分別是，且；

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   （1）求  

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 （2）若，求面積的最大值。

 

 

 

 

 

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18．已知等比數(shù)列中，分別是某等差數(shù)列的第5項，第3項，第2項，且，公比；

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   （1）求 

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 （2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和。

 

 

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19．（理做Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；文做Ⅰ、Ⅳ）

如圖，直二面角D―AB―E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)

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   （Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；

   （Ⅱ）求二面角B―AC―E的余弦值；

   （Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.

   （Ⅳ）求證：平面BDF⊥平面ABCD

 

 

 

 

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20．（本小題滿分12分）造船廠年造船量20艘，造船艘產(chǎn)值函數(shù)為

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（單位：萬元），成本函數(shù)（單位：萬元），又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為

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   （1）求利潤函數(shù)及邊際利潤函數(shù)（利潤=產(chǎn)值―成本）

   （2）問年造船量安排多少艘時，公司造船利潤最大

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   （3）邊際利潤函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)且

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   （1）若在取得極小值－2，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

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   （2）令若的解集為A，且，求的范圍

 

 

 

 

 

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22．（本題滿分14分）

        在直角坐標(biāo)系中，已知一個圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足.

   （1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程；

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          （2）過點Q(－2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點，且以 為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標(biāo)原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題（每題5分，共60分）

1―5 ACCBA  6―10 BCABD  11―12 DB

2,4,6

13．   14．   15．   16．①②③

三、解答題（17―21題每小題12分，22題14分，共74分）

17．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

又

當(dāng)且僅當(dāng)時，△ABC面積取最大值，最大值為.

18．解：（Ⅰ）依題意得

（Ⅱ）

又

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.   

∵二面角D―AB―E為直二面角，且， 平面ABE.

（Ⅱ）連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，

∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

（Ⅲ）過點E作交AB于點O. OE=1.

∵二面角D―AB―E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h，

平面BCE，  

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    解法二：（Ⅰ）同解法一.
    （Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直
    線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行
    于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
    O―xyz，如圖.
    面BCE，BE面BCE， ，
    在的中點，
     設(shè)平面AEC的一個法向量為，
    則解得
           令得是平面AEC的一個法向量.
           又平面BAC的一個法向量為，
           ∴二面角B―AC―E的大小為
    （III）∵AD//z軸，AD=2，∴，
    ∴點D到平面ACE的距離
    20．解：（1）
    ； 
    （2）
    ，,
    ，有最大值；即每年建造12艘船，年利潤最大（8分）
    （3），（11分）
    所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以單調(diào)區(qū)間是，且
    21．解：(I)∵，且，
    ∴①④
    又由在處取得極小值－2可知②且③
    將①②③式聯(lián)立得∴。   (4分)
    由得同理由得
    ∴的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,1], 單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1和   (6分)
    (II)由上問知：,∴。
    又∵。∴�！��！�
    ∵，∴>0�！�。(8分)
    ∴當(dāng)時，的解集是，
    顯然A不成立，不滿足題意。
    ∴，且的解集是。  
(10分)
    又由A知。解得。(12分)
    22．解：（1）設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點，P（x1，y1）是方程x2 +y2 =4的圓上的任意一點，則
        則有：得，
        軌跡C的方程為 
       （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點.
        所以設(shè)直線l的方程為y
= k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，N點所在直線方程為
        由
        由△= 
        即 …    
        即，∴四邊形OANB為平行四邊形 
        假設(shè)存在矩形OANB，則，即，
        即，
        于是有    得 … 設(shè)， 
    即點N在直線上.
     ∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為
     
     
     
     
    
				
	
    
		
    


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