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12.已知點P是拋物線y2=4x上一點,設(shè)點P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1,到直線 x+2y+10=0的距離為d2,則d1+ d2的最小值為 ( )
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A.5 B.4 C. D.
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二、填空題:(本大題4小題,每小題5分,共20分)
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14.若,則=
。
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15.若的二項展開式中的系數(shù)為,則a= (用數(shù)字作答)。
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16.已知球O的半徑是1,A、B、C三點都在球面上,A、B兩點和A、C兩點的球面距離都
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是,B、C兩點的球面距離是,則二面角B―OA―C的大小是
。
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三、解答題:(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本題10分)已知,函數(shù)。 (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
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(Ⅱ)若f(x)= ,求x的取值集合。
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18.(本小題12分) 某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對4家小型煤礦進(jìn)行監(jiān)察,若安檢不合格,則必須整改,若整改后 經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)制關(guān)閉,設(shè)每家煤礦安檢是否合格相互獨立,且每家煤礦整改前
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安檢合格的概率是,整改后安檢合格的概率是。
(1)求恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
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(2)設(shè)為關(guān)閉煤礦的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E。
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19.(本題12分)如圖,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1, BC=2,AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC成60°角。
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(Ⅰ)求證:平面PAC⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角M―AC―B的大;
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20.(本題12分)已知數(shù)列{an}滿足an==2 an-1+2n-1(n∈N*,n2),且a4=81.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的前三項a1、a2、a3的值;
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(Ⅱ)是否存在一個實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出的值;若
不存在,說明理由。
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn。
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21.(本題12分)已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a=2,判斷直線3x-y+m=0是不是函數(shù)f(x)的圖像的切線,若是,求出實數(shù)m
的值;若不是,說明理由。
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22.(本題12分)已知:橢圓的離心率為,其右頂點為A,上頂
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點為B,左右焦點分別為F1,F2,且 (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)在線段AB上(不包括端點)是否存在點M,使∠F1MF2為直角?若存在,求出點
M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。 參 考 答 案 有一個選項符合題目要求的)
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一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A 9.A 10.B 11.B 12.C
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二、填空題:(本大題4小題,每小題5分,共20分) 13.0.16 14.10 15.2 16.,或90°
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三、解答題:(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
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(Ⅰ)
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= ……………………3分
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由
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又∵ ∴f(x)是單調(diào)遞增區(qū)間為
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又由
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又∵ ∴∴f(x)是單調(diào)遞減區(qū)間為 ……………………7分
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(Ⅱ)由f(x)=
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18.(本小題12分)解:
(Ⅰ)由已知,設(shè)恰好有2家煤礦必須整改的概率為P1,
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則 ……………………4分
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(Ⅱ)的可能取值范圍為0、1、2、3、4,由已知,某煤礦被關(guān)閉的概率是
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從而該煤礦不被關(guān)閉的概率為
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∴; ;
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; ;
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;
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故的分布列為
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0 1 2 3 4 P
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的數(shù)學(xué)期望
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E= ……………………12分
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19.(本題10分)解法一(Ⅰ)證明: ∵PC⊥AC,PC⊥BC,AB∩BC=B, ∴PC⊥平面ABC,
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又∵PC平面PAC, ∴平面PAC⊥平面ABC,………4分
(Ⅱ)解:取BC中點N,則CN=1, 連結(jié)AN、MN,∵PM=CN,PM∥CN, ∴MN=PC,MN∥PC,從而MN⊥平面ABC。 作NH⊥AC,交AC延長線于H,連結(jié)MH,由三垂線定理知,AC⊥MH, 從而∠MHN為二面角M―AC―B的平面角,∵AM與PC成60°角,
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∴∠AMN=60°,AN=
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在Rt△AMN中,
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在Rt△CNH中,
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在Rt△MNH中,
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故二面角M―AC―B的大小為arctan ……………………12分 解法二:(Ⅰ)同解法一。
(Ⅱ)在平面ABC內(nèi),過C作CD⊥CB,建立空間直角坐標(biāo)系C―xyz,如圖:
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依題意有
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則 ∵AM與PC成60°角,
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即
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設(shè)平面MAC的一個法向量是則
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,取
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平面ABC的法向量取為,則 顯然二面角M―AC―B的平面角為銳角,
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故二面角M―AC―B的大小為arccos ……………………12分
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(Ⅰ)由得a4=2a3+24-1=81a3=33.同理可得 a2=13,a1=5 ……………………3分
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(Ⅱ)解:因為實數(shù)符合題意,則必為與n無關(guān)的常數(shù)
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∵
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所以,,得=-1
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故存在一個實數(shù)=-1,使得數(shù)列{}為等差數(shù)列。 ……………………5分
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(Ⅲ)由(Ⅱ)知數(shù)列{}的公差d=1,∴
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得
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記
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則
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兩式相減,得故 ……………………12分
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解:(Ⅰ) ……………………2分
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當(dāng) 此時函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(-1,1);減區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞)………4分
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當(dāng) 此時函數(shù)f(x)增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞);減區(qū)間是(-1,1)………6分
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(Ⅱ)當(dāng)a=2時,,∵直線3x-y+m=0的斜率為3,
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∴即,化簡得,此方程無解, 故直線3x-y+m=0不可能是函數(shù)f(x)的圖像切線 ……………………12分
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解:(Ⅰ)由已知得
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∴
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∴
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又∵
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將代入得
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∴橢圓的方程為 ……………………6分
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(Ⅱ)假設(shè)在線段AB上存在點M,使∠F1MF2為直角,
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設(shè)由(Ⅰ)可知
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∴因此
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又由于∴直線AB的方程為
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于是
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整理的,解得
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且,得到故在線段AB上存在點M,
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使∠F1MF2為直角,其坐標(biāo)為 ……………………12分
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