江蘇省揚大附中2008-2009學年度第二學期高三月考

數(shù)學 

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分．不需寫出解答過程,請把答案寫在答題紙的指定位置上．

1．若集合，滿足，則實數(shù)=   ▲      ．

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2．已知虛數(shù)z滿足等式： ，則     ▲     ．

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3．函數(shù)的最小正周期是      ▲      ．

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4．某算法的偽代碼如右：則輸出的結(jié)果是      ▲     ．

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5．已知條件p:x≤1，條件q： ，則p是q的    ▲   條件．

(填“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”或是“既不充分也不必要條件”)

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6．已知米粒等可能地落入如圖所示的四邊形內(nèi)，如果通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)米粒落入△BCD內(nèi)的頻率穩(wěn)定在附近，那么點和點到直線的距離之比約為    ▲    ．

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7．在等差數(shù)列中，若，則         ▲          ．

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8．．給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面α、β的四個命題：

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  ①若；

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  ②若m、l是異面直線，；

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③若；

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  ④若．

其中為真命題的是    ▲    ．

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9．若不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是      ▲      ．

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10．當時,函數(shù)的最小值是____  ▲   ___．  

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11．在直角坐標系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則實數(shù)m=    ▲     ．

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12．橢圓，右焦點F（c,0），方程的兩個根分別為x1,x2，則點P（x1,x2）與圓的位置關(guān)系是        ▲     ．

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13． 三位同學合作學習，對問題“已知不等式對于恒成立,求的取值范圍”提出了各自的解題思路．

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 甲說：“可視為變量，為常量來分析”．

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  乙說：“尋找與的關(guān)系，再作分析”．

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  丙說：“把字母單獨放在一邊，再作分析”．

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參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數(shù)的取值范圍是     ▲      ．

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14． 給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m 叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作= m． 在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：

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①函數(shù)y=的定義域為R，值域為；②函數(shù)y=的圖像關(guān)于直線（）對稱；③函數(shù)y=是周期函數(shù)，最小正周期為1；④函數(shù)y=在上是增函數(shù)。

其中正確的命題的序號         ▲        ．

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二、解答題：（本大題共6小題,共90分．解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．）

15、（本小題滿分14分）

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某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統(tǒng)計了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求出物理成績低于50分的學生人數(shù)；

(2)估計這次考試物理學科及格率（60分及

以上為及格）

(3) 從物理成績不及格的學生中任選兩人，

求他們成績至少有一個不低于50分的概率．

 

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16．（本小題滿分14分）

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在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

（1）求角A；

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（2）若m，n，試求|mn|的最小值．

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17．（本小題滿分15分）

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如圖，、分別為直角三角形的直角邊和斜邊的中點，沿將折起到的位置，連結(jié)、，為的中點．

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（1）求證：平面；

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（2）求證：平面平面；

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18．（本小題滿分15分）

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已知直線：（為常數(shù)）過橢圓（）的上頂點和左焦點，直線被圓截得的弦長為．

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（1）若，求的值；

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（2）若，求橢圓離心率的取值范圍．

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19．（本小題滿分16分）

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已知函數(shù)．

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(1)當時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出其單調(diào)區(qū)間；

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(2)若函數(shù)的圖象與直線至少有一個交點，求實數(shù)的取值范圍；

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(3)證明：對任意，都有成立．

 

 

 

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20．(本小題16分)

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已知：集合．

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（1）證明：不存在，使得1，，依次既是一個等差數(shù)列的前三項，又是一個等比數(shù)列的前三項。

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（2）是否存在，使得1，，依次既是一個等差數(shù)列的第1、3、8項，又是一個等比數(shù)列的第1、3、8項？證明你的結(jié)論。

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（3）是否存在，使得1，，依次既是一個等差數(shù)列的第r、s、t項，又是一個等比數(shù)列的第r、s、t項？證明你的結(jié)論．

附加題

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1．選修4―2　矩陣與變換

二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．

（1）求矩陣M；

（2）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．

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2．選修4―4　參數(shù)方程與極坐標

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圓和圓的極坐標方程分別為．

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（1）把圓和圓的極坐標方程化為直角坐標方程；

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（2）求經(jīng)過圓，圓兩個交點的直線的直角坐標方程．

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3．動點P在x軸與直線l：y＝3之間的區(qū)域（含邊界）上運動，且點P到點F（0，1）和直線l的距離之和為4．

（1）求點P的軌跡C的方程；

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（2）求曲線C與曲線所圍圖形的面積．

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4．一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．

（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；

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（2）現(xiàn)從盒子中進行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學期望．

 

 

 

 

 

 

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1

2

3

4

5

6

7

8

2

9

充分不必要

4

①②④

9

10

11

12

13

14

 

或0

點P在圓內(nèi)

①②③

 

 

15．解： （1）因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（2）依題意，成績60及以上的分數(shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學生成績的合格率是%.

于是，可以估計這次考試物理學科及格率約為%……………………………………9分.

（3）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績不及格的學生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：  ……………14分

16．解：（1），

即，

∴，∴．

∵，∴．………………………………………………………………7分

（2）mn ，

|mn|．

∵，∴，∴．

從而．

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

17．(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………7分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………14分

注：直角三角形條件在證這兩問時多余了，可直接用兩側(cè)面的直角三角形證明即可。

18．解：（1）取弦的中點為M，連結(jié)OM

由平面幾何知識，OM=1

     得：，  

∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………6分

（2）設(shè)弦的中點為M，連結(jié)OM

則

       解得     

∴                    …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關(guān)數(shù)據(jù)直接求得）

19．


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第(3)問的構(gòu)造法可直接用第二種方法，作差后用代換即可。

20．解：（1）由方程組的解為不符合題設(shè)，可證。………3分

（2）假設(shè)存在。

由方程組，得，即…5分

設(shè)（），可證：當時，單調(diào)遞減且；當時，單調(diào)遞減且。

，設(shè)，則。………7分

①當時，，遞增，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

設(shè)，則，在上遞增，，即，所以。………9分

②當時，，遞減，故，

于是，在上單調(diào)遞減。

，在上遞減，，即，所以

由函數(shù)（）的性質(zhì)可知滿足題設(shè)的不存在。………11分

（3）假設(shè)1，，是一個公差為的等差數(shù)列的第r、s、t項，又是一個等比為等比數(shù)列的第r、s、t項。于是有：，

，

從而有， 所以。

設(shè)，同（2）可知滿足題設(shè)的不存在………16分

注：證法太繁，在第二問中，可用來表示，消去可得，則構(gòu)造易得到極值點為。

 

 

 

 

 

附加題參考答案

附1．（1）設(shè)M=，則有=，=，

所以且   解得，所以M=．…………………………5分

（2）任取直線l上一點P(x，y)經(jīng)矩陣M變換后為點P’(x’，y’)．

因為，所以又m：，

所以直線l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分

附2．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程． 

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

附3．（1）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．

化簡，得．………………………………………………………………5分

（2）．……………………………………10分

附4．（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知               ………………………………4分

（2）ξ可取1，2，3，4．   ，

 ；………………8分

 故ξ的分布列為

ξ

1

2

3

4

P

                                                              

  答：ξ的數(shù)學期望為       …………10分

 

 

 


同步練習冊答案