1.  圓內(nèi)接四邊形ABCD，現(xiàn)有一圓其圓心在邊AB上并于其他三邊相切，求證AD + BC = AB.

2. 設(shè) k<n 時(shí)互素的兩個(gè)正整數(shù)。將集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每個(gè)數(shù)都染成藍(lán)色或白色，保證 i和n-i的顏色相同，對(duì)于不等于k的i其顏色又與|i-k|的顏色相同。求證：M中所有數(shù)的顏色都相同。

3.  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k 是整系數(shù)多項(xiàng)式，設(shè)其中系數(shù)為奇數(shù)的個(gè)數(shù)為o(P)。對(duì)于i = 0, 1, 2, ... ，記 Q_i(x) = (1 + x)ⁱ。求證如果i₁, i₂, ... , i_n都是整數(shù)并滿(mǎn)足0 <= i₁ < i₂ < ... < i_n，則有

o(Q_i1 + Q_i2 + ... + Q_in) >= o(Q_i1).

4.  集合M由 1985個(gè)不同的正整數(shù)組成，且每個(gè)數(shù)都有一個(gè)大于23的素因子，求證M中存在4個(gè)元素的積是某個(gè)整數(shù)的4次方。

5.  圓心為O的一個(gè)圓經(jīng)過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A和C，并與AB,BC分別交于不同的兩點(diǎn)K、N，三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)B、M，求證角OMB是直角。

6.  對(duì)于任何一個(gè)實(shí)數(shù) x₁，可通過(guò)遞推式

x_n+1 = x_n(x_n + 1/n)

 構(gòu)造序列 x₁, x₂, ...，求證存在唯一的一個(gè)x₁ 滿(mǎn)足對(duì)所有的n都有 0 < x_n < x_n+1 < 1 成立。

試題詳情

1.  求證 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y， z 是非負(fù)實(shí)數(shù)并滿(mǎn)足x + y + z = 1.

2.  試找出所有的正整數(shù)對(duì)（a,b）滿(mǎn)足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)⁷ - a⁷ - b⁷ 可被7⁷整除。

3.  給定平面上的點(diǎn)O、A。平面上的每個(gè)點(diǎn)都被染色成有限種顏色中的一個(gè)。設(shè)X是平面上一給定點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓C(X)的半徑是 OX + (∠ AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范圍是[0, 2л)），求證能夠找到不在OA上的一點(diǎn)X使得它的顏色出現(xiàn)在圓C(X)的圓周上。

4.  凸四邊形ABCD的邊CD與以AB為直徑的圓相切，求證：AB與以CD為直徑的圓相且當(dāng)且僅當(dāng)BC和AD是平行的。

5.  設(shè) d 是平面上一凸 n 邊形（n>3）的所有對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度之和，p 是它的周長(zhǎng)。求證:

 n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,

其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。

6. 0 < a < b < c < d 是四個(gè)奇數(shù)且 ad = bc. 若a + d = 2^k 及 b + c = 2^m 對(duì)某k、m成立,則

a = 1.

試題詳情

1.  試找出所有定義在正實(shí)數(shù)并取值正實(shí)數(shù)的函數(shù) f，使其滿(mǎn)足 f(x(f(y)) = yf(x)對(duì)所有x, y成立，并且當(dāng) x 趨向于無(wú)窮大時(shí) f(x) 趨向于0.

2.  圓C₁、C₂ 的圓心分別是O₁ 、O_2，它們相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)A是其中一個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)圓的一條公切線(xiàn)切C₁、 C₂ 分別于點(diǎn) P_1、P₂，另外一條公切線(xiàn)分別切C₁、 C₂ 于點(diǎn) Q_1、Q₂，再設(shè)M₁、M₂分別是P₁Q₁和P₂Q₂的中點(diǎn)，求證：角O₁AO₂ = 角 M₁AM₂。

3.  a , b, c是正整數(shù)，并且它們中的任何兩個(gè)都沒(méi)有大于1的公約數(shù)。求證 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整數(shù)，其中x, y, z是非負(fù)整數(shù)。

4.  等邊三角形ABC，設(shè)集合E是該三角形的所有邊界點(diǎn)（即邊AB,BC,CA），任意將E分拆成兩個(gè)不相交的子集合（它們的并集是E），試證明這兩個(gè)集合中的至少一個(gè)包含有三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形。

5.  問(wèn)是否可能存在小于或等于10⁵的1983個(gè)不同的正整數(shù)，任何三個(gè)都不構(gòu)成一等茶數(shù)列。

6. 設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，求證

a²b(a - b) + b²c(b - c) + c²a(c - a) >= 0.

并判斷何時(shí)等號(hào)成立。

試題詳情

1.  f(n)是定義在正整數(shù)上且取值為非負(fù)整數(shù)的函數(shù)，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，并對(duì)所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。試求出f(1982)。

2.  A₁A₂A₃是不等腰三角形，其三邊為a₁, a₂, a₃ ，其中a_i 是角 A_i的對(duì)邊， 設(shè) M_i 是邊 a_i 的中點(diǎn)，T_i是三角形的內(nèi)切圓在邊 a_i上的切點(diǎn)，記S_i為點(diǎn) T_i 關(guān)于內(nèi)角A_i的角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求證線(xiàn)M₁S₁, M₂S₂ 和M₃S₃共點(diǎn)。

3.  考慮無(wú)限正實(shí)數(shù)序列 {x_n} 滿(mǎn)足x₀ = 1 及 x₀ >= x₁ >= x₂ >= ... ，

x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n >= 3.999.

b.    試尋找一個(gè)這樣的序列使其滿(mǎn)足

 x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n < 4   對(duì)所有n成立。

4.  n使正整數(shù)，求證如果方程 x³ - 3xy² + y³ = n有關(guān)于整數(shù)x,y的一個(gè)解，則其至少有三個(gè)解；當(dāng)n=2891時(shí)再證明這個(gè)方程無(wú)整數(shù)解。

5.  正六邊形ABCDEF的對(duì)角線(xiàn)AC、CE上分別有分點(diǎn)M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共線(xiàn)，試求r的值。

6.  設(shè)S是邊長(zhǎng)為100的正方形，L是在S內(nèi)部不自交的系列線(xiàn)段A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, ... , A_n-1A_n 并且A₀ 與 A_n不重合。已知對(duì)于每一個(gè)在S邊界上的點(diǎn)P，L中存在一個(gè)點(diǎn)與P之間的距離不大于1/2。求證：L中存在兩點(diǎn)X、Y，X與Y的距離不大于1，并且L上位于X和Y之間的部分不少于198。

試題詳情

1.  P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，D、E、F分別是從P點(diǎn)向邊BC、CA、AB所引垂線(xiàn)的垂足。試找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式達(dá)到最小值的所有P點(diǎn)。

2.  取r滿(mǎn)足1 <= r <= n，并考慮集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集，每個(gè)子集都有一個(gè)最小元素。設(shè)F(n,r)是所有這些最小元素的算術(shù)平均值。求證：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。

3.  設(shè)m、n是屬于{1, 2, ... , 1981}的整數(shù)并且滿(mǎn)足(n² - mn - m²)² = 1。試計(jì)算m² + n²的最大值。

4. 設(shè) n>2，問(wèn)

5. 三個(gè)都通過(guò)點(diǎn)O的等半徑的圓位于一個(gè)給定三角形的內(nèi)部，并且每個(gè)圓都相切于這個(gè)三角形的兩條邊。求證：這個(gè)三角形的內(nèi)心、外心、O點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)。

6. 函數(shù)f(x,y)，對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)x,y都滿(mǎn)足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。試計(jì)算f(4, 1981)的值。

試題詳情

1. m,n是滿(mǎn)足下述條件的正整數(shù):

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求證：m可被1979整除。

2.  一個(gè)棱柱的上底和下底分別是正五邊形A₁A₂A₃A₄A_5、B₁B₂B₃B₄B₅ 。這兩個(gè)正五邊形的每條邊以及每個(gè) A_iB_j邊都被染上紅色或藍(lán)色。又已知每個(gè)邊都被著色的三角形（其頂點(diǎn)即這個(gè)棱柱的頂點(diǎn)）必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。

3.  平面上的兩個(gè)圓相交，A是其中一個(gè)交點(diǎn)。現(xiàn)有兩質(zhì)點(diǎn)同時(shí)從A出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時(shí)針?lè)较蚧蛲�以逆時(shí)針?lè)较蚶@各自的圓移動(dòng)，在繞過(guò)一周之后這兩點(diǎn)又同時(shí)回到了A點(diǎn)。求證：在這個(gè)平面上一定存在某個(gè)固定的點(diǎn)P使得在任意時(shí)刻P點(diǎn)都與這兩動(dòng)點(diǎn)的距離相等。

4. 給定一平面k，在這個(gè)平面上有一點(diǎn)P，平面外有一點(diǎn)Q，試找出平面k上的所有的點(diǎn)R使得(QP + PR)/QR 為最大值。

5.  試求出所有的實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)x₁, x₂, x₃, x₄, x₅滿(mǎn)足下列關(guān)系式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a；

x₁ + 2³x₂ + 3³x₃ + 4³x₄ + 5³x₅ = a²；

x₁ + 2⁵x₂ + 3⁵x₃ + 4⁵x₄ + 5⁵x₅ = a³。

6.  令A(yù)、E是一個(gè)正八邊形的兩相對(duì)頂點(diǎn)，一只青蛙從A點(diǎn)開(kāi)始跳動(dòng)，除了E點(diǎn)外，從八邊形中的其他每一個(gè)頂點(diǎn)都可以跳至與它相鄰兩頂點(diǎn)中的任何一個(gè)。當(dāng)它跳到E點(diǎn)時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)。設(shè) a_n 為恰好經(jīng)過(guò) n步跳動(dòng)以后到達(dá)E點(diǎn)的所有可能線(xiàn)路的個(gè)數(shù)，求證：

      a_2n-1 = 0
      a_2n = (2 + √2)^n-1/√2 - (2 - √2)^n-1/√2。

試題詳情

1.  m、n都是正整數(shù)且n>m。如果1978^m 和1978ⁿ的十進(jìn)制表示法的末三位數(shù)字相同，試求滿(mǎn)足此條件并使m+n達(dá)到最小的m與n。

2.  P是某已知球內(nèi)部一點(diǎn)，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC決定的平行六面體與P點(diǎn)對(duì)角相向的頂點(diǎn)為Q，試求出Q點(diǎn)的軌跡。

3.  兩不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整數(shù)，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(shù)(n) = f(f(n)) + 1對(duì)所有n=1,2,3, ...成立。試計(jì)算f(240)。

4.  等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圓的內(nèi)部有一與其相切的一個(gè)小圓，該小圓又分別與AB、AC相切于P、Q兩點(diǎn)。求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)恰為三角形ABC內(nèi)切圓的圓心。

5. 令{a_k} 為互不相同的正整數(shù)數(shù)列，求證對(duì)于所有的正整數(shù)n，有

∑a_k/k² >=　∑1/k；

上式中兩邊的求和都是k從1到n。

6. 某國(guó)際組織共有來(lái)自六個(gè)國(guó)家的共1978名會(huì)員，會(huì)員編號(hào)分別是1,2,...,1978。求證至少有某一會(huì)員的編號(hào)，恰為與他同國(guó)家的另外兩位會(huì)員編號(hào)的和，或者是他同國(guó)家的兩外一名會(huì)員編號(hào)的兩倍。

試題詳情

1.  求證(21n+4)/(14n+3) 對(duì)每個(gè)自然數(shù) n都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

2.  設(shè)√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，試在以下3種情況下分別求出x的實(shí)數(shù)解： 

(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是實(shí)數(shù)，已知 cos x的二次方程

a cos²x + b cos x + c = 0,

試用a,b,c作出一個(gè)關(guān)于 cos 2x的二次方程，使它的根與原來(lái)的方程一樣。當(dāng)a=4,b=2,c=-1時(shí)比較 cos x和cos 2x的方程式。

4.  試作一直角三角形使其斜邊為已知的 c，斜邊上的中線(xiàn)是兩直角邊的幾何平均值。

5.  在線(xiàn)段AB上任意選取一點(diǎn)M，在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個(gè)正方形的外接圓的圓心分別是P、Q，設(shè)這兩個(gè)外接圓又交于M、N，

    (a.) 求證 AF、BC相交于N點(diǎn)；

   （b.) 求證 不論點(diǎn)M如何選取 直線(xiàn)MN 都通過(guò)一定點(diǎn) S；

    (c.) 當(dāng)M在A與B之間變動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)斷 PQ的中點(diǎn)的軌跡。

6.  兩個(gè)平面P、Q交于一線(xiàn)p，A為p上給定一點(diǎn)，C為Q上給定一點(diǎn)，并且這兩點(diǎn)都不在直線(xiàn)p上。試作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一個(gè)內(nèi)切圓，并且頂點(diǎn)B、D分別落在平面P和Q上。

試題詳情

1.  在正方形ABCD中作等邊三角形ABK、BCL、CDM、DAN，證明線(xiàn)段KL、LM、MN、NK的四個(gè)中點(diǎn)以及線(xiàn)段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正十二邊形的定點(diǎn)。

2. 在一個(gè)有限項(xiàng)的實(shí)數(shù)序列中，任意的相連七項(xiàng)之和為負(fù)，任意的相連十一項(xiàng)之和為正。求出這種序列最多有幾項(xiàng)。

3.  n>2是一給定整數(shù)，V_n 是所有1+kn形式的整數(shù)構(gòu)成的集合，其中k是正整數(shù)，對(duì)于V_n 中的一個(gè)數(shù)m，如果不存在V_n 中的兩個(gè)數(shù)p、q使得m=pq，則稱(chēng)m是不可分解的。求證：V_n 中存在一數(shù)r，它可有多于一種的方式表示為V_n 中不可分解數(shù)的乘積。（乘積中若僅僅是因數(shù)的順序不同則視為是同一種分解。）

4. 定義f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是實(shí)數(shù)常量。如果f(x)>=0對(duì)所有實(shí)數(shù)x都成立，求證

a² + b² <= 2 且 A² + B² <= 1.

5.  a,b是正整數(shù)，設(shè)a² + b²除以a + b得到商為q，余數(shù)是r。試求出所有的正整數(shù)對(duì)（a,b）使得q² + r = 1977。

6.  f是定義在所有正整數(shù)上且取值也是正整數(shù)的函數(shù)，求證如果f(n+1) > f(f(n))對(duì)所有正整數(shù)n都成立，則f(n) = n對(duì)每個(gè)n都成立。

試題詳情

1.  平面上一凸四邊形的面積是32，兩對(duì)邊與一對(duì)角線(xiàn)之和為16，求另外一個(gè)對(duì)角線(xiàn)的所有可能的長(zhǎng)度。

2. 令P₁(x) = x² - 2, P_i+1 = P₁(P_i(x)), i = 1, 2, 3, ...，求證對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n，方程式P_n(x) = x 的所有根都是互不相同的實(shí)數(shù)。

3. 一個(gè)長(zhǎng)方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿(mǎn)，如果用體積為2的正方體來(lái)盡量裝填，使得每個(gè)邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿(mǎn)箱子的40％，求所有這種箱子的可能尺寸（長(zhǎng)、寬、高）。

4.  試將1976分解成一些正整數(shù)之和，求這些正整數(shù)乘積的最大值，并加以證明。

5.  n是一個(gè)正整數(shù)，m = 2n， a_ij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。還有m個(gè)未知數(shù)x₁, x₂, ... , x_m滿(mǎn)足下面n個(gè)方程：

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求證這n個(gè)方程有一組不全為0的整數(shù)解（x₁, x₂, ... , x_m）使得|x_i|<= m。

6.  一個(gè)序列u₀, u₁, u₂, ... 定義為：

u₀= 2, u₁ = 5/2, u_n+1 = u_n(u_n-1² - 2) - u₁，n = 1, 2, ...

求證

[u_n] = 2^{(2n - (-1)n)/3},

其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)。

試題詳情