，即  ，

解 (Ⅰ) 焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為 ，（），由題設(shè)條件得，且，即b=2，a =1，所以曲線C的方程為

本小題屬于中等題, 區(qū)分度較好.得0分者約占18%, 會(huì)求橢圓方程得1~4分者有約50%, 會(huì)求導(dǎo)數(shù)和切線斜率得5~6分者有10.5%, 正確求出切線方程以及進(jìn)一步求解點(diǎn)M的軌跡方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)問(wèn)得11~12分者有5.5%. 

[考查意圖] 本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、平面向量及切線方程、曲線方程等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理的能力.

[解答分析] 本小題第(Ⅰ) 問(wèn)涉及到解析幾何、平面向量和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等多方面知識(shí)，同時(shí)出現(xiàn)橢圓方程、切線方程和點(diǎn)M的軌跡方程等多個(gè)方程，因此做第(Ⅰ)問(wèn)需要我們清楚理解方程等有關(guān)的概念，熟練掌握有關(guān)的基本知識(shí)、常規(guī)方法，并能把他們聯(lián)系在一起綜合的運(yùn)用. 解題思路是：設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)和M點(diǎn)坐標(biāo)，求出橢圓方程和切線方程，然后求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，再求出M點(diǎn)坐標(biāo)與切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，消去切點(diǎn)坐標(biāo)即可得點(diǎn)M的軌跡方程. 做第(Ⅱ)問(wèn)需要一點(diǎn)運(yùn)算技巧. 參考解答如下：

   0.32

   3.88

(Ⅰ) 點(diǎn)M的軌跡方程; (Ⅱ) 的最小值.

[抽樣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)]

題號(hào)

滿(mǎn)分

  平均分

   難度

  理(20)

    12

在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 有一個(gè)以F₁(0, ) 和F₂(0, )為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓. 設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C, 動(dòng)點(diǎn)P在C上, C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B, 且向量 . 求:

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2.

在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結(jié)MC，作NH⊥MC于H，設(shè)H(0,λ, λ) (λ>0).

∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). ? = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結(jié)BH，則=(－1,, ),

∵?=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= =  = .

    注：還可以分別以NA、NB、NC為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，但這需要先證明

l₂⊥平面ABN.

[錯(cuò)因分析] 缺少解答步驟：主要是在第(Ⅰ) 問(wèn)中不證明l₂⊥平面ABN，在第(Ⅱ)問(wèn)中不證明△ABC為正三角形或NC=NA=NB，或不證明∠NBH是所求的線面角，而是默認(rèn)它們成立.

不按照題意回答問(wèn)題：算出∠NBH的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示），但不算它的余弦值.

線面角的概念不清楚：例如說(shuō)“∠NBH或其補(bǔ)角是所求的線面角”.

找不到所求的線面角，或是按照定義作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而無(wú)法計(jì)算∠NBH的余弦值.

找錯(cuò)所求的線面角：例如把平面ABC的法向量與NB的夾角，說(shuō)所求的線面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D為BC中點(diǎn)），是∠DME （D為BC中點(diǎn)，E為BN中點(diǎn)），等等.

計(jì)算錯(cuò)誤：向量?jī)?nèi)積算錯(cuò)，列式運(yùn)算錯(cuò)，線段長(zhǎng)度看錯(cuò)等.

空間想象能力弱：如說(shuō)“過(guò)B作BE∥AC交l₂于E”，其實(shí)這是不可能相交的.

[復(fù)習(xí)提示] 在解答立體幾何題時(shí)，常有考生缺少證明步驟，比如本小題不證明l₂⊥平面ABN，其實(shí)這一步并不難，但是不寫(xiě)的話失分就較多. 在高考復(fù)習(xí)時(shí)，要注意練習(xí)寫(xiě)一個(gè)既簡(jiǎn)明又完整的解答或證明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，這從課本例題、老師講的例題的解答中就可以學(xué)到.

理（20）（本小題滿(mǎn)分12分）

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz. 令MN=1, 則有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),

(Ⅰ) ∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂,

∴ l₂⊥平面ABN. ∴ l₂平行于z軸.

故可設(shè)C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).

∵ ?=1+(－1)+0=0  ∴AC⊥NB.

參考解答如下：

解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN，

從而AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影. ∴AC⊥NB

（Ⅱ）∵  Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連結(jié)BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.