∴=-2(x₂-2).                   5分

∴l(xiāng)：y+(x₂-2)²=-2(x₂-2)(x-x₂),

∴=2x₁.     2分

∴l(xiāng)：y-x₁²=2x1(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².       3分

設(shè)直線l與C₂相切于點(diǎn)(x₂,-(x₂-2)²),

∵y=-(x-2)²,

∴y′=-2(x-2).

18.(本小題滿分10分)已知曲線C₁：y=x²與C₂:y=-(x-2)²,若直線l與C₁、C₂都相切,求l的方程.

分析 本題主要考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.要求具有某種性質(zhì)的切線,只需求出對(duì)應(yīng)的x₀即可,一般要求出x₀所需滿足的方程或方程組,解之即可.

解 設(shè)直線l與C₁相切于點(diǎn)(x₁,x₁²),

∵y=x²,∴y′=2x.

由f′(x)=-x²+24 000=0,

解得x₁=200,x₂=-200(舍去).          6分

∵f(x)在［0,+∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x₁=200使f′(x)=0,

∴它就是最大值點(diǎn),f(x)的最大值為f(200)=3 150 000(元).

∴每月生產(chǎn)200 t才能使利潤達(dá)到最大,最大利潤是315萬元.    8分

解 每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為f(x)=(24 200-)x-(50 000+200x)=-+24 000x-50 000(x≥0).                               4分

17.★(本小題滿分8分)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/t)之間的關(guān)系式為p=24 200-,且生產(chǎn)x t的成本為R=50 000+200x(元).問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤達(dá)到最大?最大利潤是多少?(利潤=收入-成本)

分析 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.根據(jù)題意,列出函數(shù)關(guān)系式,求導(dǎo)求解.

∵x=16,∴=32.                    7分

故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16 m，長為32 m時(shí)，可使砌墻所用的材料最省.?8分

[注] 本題也可利用均值不等式求解.

∵x>0,∴x=16.                          5分

∵L在(0,+∞)上只有一個(gè)極值點(diǎn),

∴它必是最小值點(diǎn).

令L′=2-=0,得x=16或x=-16.       4分

L′=2-.