所以，二面角     的大小為
　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G。連結(jié)EG。 依題意得
　　底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 　故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
　　(II)證明：依題意得。又故
　　　
　　由已知，且所以平面EFD。
　　(III)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得 。
　　點(diǎn)F的坐標(biāo)為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
67、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱

CD上的動(dòng)點(diǎn).

（I）試確定點(diǎn)F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）當(dāng)D­₁E⊥平面AB₁F時(shí)，求二面角C₁―EF―A的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，滿分12分.

66、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F。
　　(I)證明 平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。
方法一：
　　(I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于O。連結(jié)EO。
　　底面ABCD是正方形，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。
　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ① 　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知， 設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，則
　　 在中，
　　 　在中，
　　

（3）

解（1）                                

（2）略

(Ⅱ)設(shè)O點(diǎn)在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面ABD₁的距離.

65、(2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

即二面角P―AB―F的平面角的余弦值為